Question

Найдите произведение корней уравнения lg^2(10x) +lg(x)=19

Answer 1

Ответ 0,001

Решение задачи прилагаю

Answer 2

ОДЗ х∈(0;+∞);    lg²(10x)=(lgх+lg10)²=(lgх+1)²

Введем замену lgх=у, тогда уравнение перепишем так у²+2у+1+у-19=0

у²+3у-18=0; По Виету у=-6; у=3, тогда lgх=-6⇒х=10⁻⁶; lgх=3⇒х=10³, оба корня входя в ОДЗ,

Произведение корней равно 10⁻⁶*10³=10⁻³=1/1000

Answer 3

Данное уравнение имеет вид:

lg^2(10x) + lg(x) = 19

Давайте начнем с замены переменной: пусть y = lg(x). Тогда уравнение приобретает следующий вид:

lg^2(10x) + lg(x) = 19 y^2 + y = 19

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y. Для его решения можно воспользоваться квадратным трехчленом или квадратным уравнением. Приведем уравнение в квадратное:

y^2 + y - 19 = 0

Сейчас мы можем воспользоваться квадратным уравнением и найти значения y:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где в данном случае a = 1, b = 1 и c = -19. Подставляя значения, получаем:

y = (-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * -19)) / 2 * 1 y = (-1 ± √(1 + 76)) / 2 y = (-1 ± √77) / 2

Теперь мы нашли два значения y:

y₁ = (-1 + √77) / 2 y₂ = (-1 - √77) / 2

Теперь нам нужно вернуться к исходной переменной x, используя обратную функцию логарифма, чтобы найти корни уравнения:

x₁ = 10^((−1 + √77) / 2) x₂ = 10^((−1 - √77) / 2)

Таким образом, произведение корней уравнения равно:

x₁ * x₂ = 10^((−1 + √77) / 2) * 10^((−1 - √77) / 2)

Поскольку возвести 10 в степень равносильно извлечению десятичного логарифма, это можно упростить:

x₁ * x₂ = 10^(-1) * 10^(-√77) * 10^(-1) * 10^(√77) x₁ * x₂ = 10^(-2)

Таким образом, произведение корней уравнения lg^2(10x) + lg(x) = 19 равно 10^(-2), то есть 0.01.