Question

Решить показательное уравнение: 3*2^(x+1)-2^-(x)*5^(2x+1)=13*5^x Ребят помогите решить пример)))))​

Answer 1

$3\cdot 2^{x+1}-2^{-x}\cdot 5^{2x+1}=13\cdot 5^x~~~\Big|\cdot 2^x\\ \\ 6\cdot 2^{2x}+13\cdot 2^x\cdot 5^x-5\cdot 5^{2x}=0$

Можно разделить обе части уравнения на $5^{2x}$ и выполнить замену $(\frac{2}{5})^x=t$, вы получите такое квадратное уравнение $6t^2+13t-5=0$ далее самостоятельно решите. А так приведу решение графически.

$6\cdot (\frac{2}{5})^{2x}+13\cdot (\frac{2}{5})^x=5$

График функции, стоящее слева в уравнении является убывающей как сумма двух убывающих функций. С прямой y = 5 имеет одну общую точку x = -1.

Ответ: -1.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это показательное уравнение. Давайте пошагово найдем значение переменной x.

Исходное уравнение: $3 \cdot 2^{x+1} - \frac{1}{2^x} \cdot 5^{2x+1} = 13 \cdot 5^x$

Давайте начнем с упрощения выражений с показателями: $3 \cdot 2^{x+1} - \frac{5^{2x+1}}{2^x} = 13 \cdot 5^x$

Для того чтобы решить уравнение, давайте сначала избавимся от дроби, умножив обе стороны уравнения на $2^x$: $3 \cdot 2^{2x} - 5^{2x+1} = 13 \cdot 5^x \cdot 2^x$

Теперь давайте заметим, что у нас есть две степени одной и той же переменной $x$, так что давайте введем новую переменную $y = 2^x$, чтобы упростить уравнение: $3y^2 - 5 \cdot 5^x = 13 \cdot y \cdot 5^x$

Теперь у нас есть уравнение в одной переменной $y$. Давайте сгруппируем все члены, содержащие степени $5^x$: $3y^2 - 13y \cdot 5^x - 5 \cdot 5^x = 0$

Теперь давайте факторизуем это уравнение: $y^2 - (13 \cdot 5^x + 5) \cdot y - 5 \cdot 5^x = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Теперь мы можем решить его с помощью квадратного трехчлена.

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня, если ноль - один корень (корень кратности 2), если отрицателен - комплексные корни.

В данном случае, $a = 1$, $b = -(13 \cdot 5^x + 5)$, $c = -5 \cdot 5^x$. Подставим значения в дискриминант: $D = (-(13 \cdot 5^x + 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5 \cdot 5^x)$

После вычислений можно определить тип корней и продолжить решение. Однако, данное уравнение не имеет аналитического решения в виде выражений известных функций, и его корни можно найти только численно.