Question

1.Найти координаты центра и радиус сферы, заданные уравнением x^2+6x+y^2+(z-1)^2=0 2.Найти угол между векторами AB и CD, если A (1;-1;-2) B (4;-2;0) C (0;2;-4) D(2;6;-5) 3.Найти разложение биома (1-x)^8

Answer 1

$1. \ (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ — уравнение сферы.

Здесь $x_{0}, \ y_{0}, \ z_{0}$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Имеем уравнение $x^{2} + 6x + y^{2} + (z - 1)^{2} = 0$

Сведем его к уравнению сферы:

$x^{2} + 6x + 9 - 9 + y^{2} + (z - 1)^{2} = 0$

$(x + 3)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$

Получили уравнение сферы с центром в точке $O(-3; \ 0; \ 1)$ и радиусом $R = 3$

Ответ: $O(-3; \ 0; \ 1)$ и $R = 3$

$2. \ A(1; \ -1; \ -2); \ B(4; \ -2; \ 0); \ C(0; \ 2; \ -4); \ D(2; \ 6; \ -5)$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{(4 -1; \ -2 -(-1); \ 0 - (-2))}= \overrightarrow{(3; \ -1; \ 2)}$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{(2 - 0; \ 6 - 2; \ -5 - (-4))} = \overrightarrow{(2; \ 4; \ -1)}$

Воспользуемся двумя формулами нахождения скалярного произведения векторов.

Для векторов $\vec{a}(a_{x}; \ a_{y}; \ a_{z})$ и $\vec{b} (b_{x}; \ b_{y}; \ b_{z})$ справедливы следующие формулы:

$\vec{a} \cdot \vec{b} =a_{x}b_{x} + a_{y}b_{y} + a_{z}b_{z}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot \cos \left( \widehat{\vec{a}; \ \vec{b}}\right)$

Для векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ имеем:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 6 - 4 - 2 = 0$

С другой стороны:

$0 = \left|\overrightarrow{AB} \right| \cdot \left|\overrightarrow{CD} \right| \cdot \cos \left( \widehat{\overrightarrow{AB}; \ \overrightarrow{CD}}\right)$

$\cos \left( \widehat{\overrightarrow{AB}; \ \overrightarrow{CD}}\right) = 0$

$\left( \widehat{\overrightarrow{AB}; \ \overrightarrow{CD}}\right) = 90^{\circ}$

Ответ: $90^{\circ}$

$3. \ (1 - x)^{8}$

Воспользуемся биномом Ньютона, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид:

$(a + b)^{n} = C^{0}_{n}a^{n}b^{0} + C^{1}_{n}a^{n-1}b^{1} + ... + C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k} + ... + C^{n-1}_{n}a^{1}b^{n-1} + C^{n}_{n}a^{0}b^{n}$

В общем виде:

$(a + b)^{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k}$

Здесь $C^{k}_{n} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$ — биноминальный коэффициент.

Таким образом,

$(1 - x)^{8} = C^{0}_{8}\cdot 1^{8} \cdot x^{0} - C^{1}_{8}\cdot 1^{7} \cdot x^{1} + C^{2}_{8}\cdot 1^{6} \cdot x^{2} - C^{3}_{8}\cdot 1^{5} \cdot x^{3} + \\\\+ C^{4}_{8}\cdot 1^{4} \cdot x^{4} - C^{5}_{8}\cdot 1^{3} \cdot x^{5} + C^{6}_{8}\cdot 1^{2} \cdot x^{6} - C^{7}_{8}\cdot 1^{1} \cdot x^{7} + C^{8}_{8}\cdot 1^{0} \cdot x^{8} = \\\\= 1 - 8x + 28x^{2} - 56x^{3} + 70x^{4} - 56x^{5} + 28x^{6} - 8x^{7} + x^{8}$

Ответ: $(1 - x)^{8} = 1 - 8x + 28x^{2} - 56x^{3} + 70x^{4} - 56x^{5} + 28x^{6} - 8x^{7} + x^{8}$

Answer 2

Задание 1: Найти координаты центра и радиуса сферы

Уравнение сферы дано в виде: $x^2 + 6x + y^2 + (z - 1)^2 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение сферы к стандартному виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра сферы, $r$ - радиус сферы.

Раскроем квадраты и приведем подобные члены:

$x^2 + 6x + y^2 + (z - 1)^2 = 0$

$x^2 + 6x + y^2 + z^2 - 2z + 1 = 0$

$x^2 + 6x + y^2 + z^2 - 2z = -1$

Подгруппируем переменные $x$, $y$ и $z$:

$(x^2 + 6x) + (y^2) + (z^2 - 2z) = -1$

Для завершения квадратных членов нужно добавить и вычесть константы внутри скобок:

$(x^2 + 6x + 9 - 9) + (y^2 + 0 + 0) + (z^2 - 2z + 1 - 1) = -1$

Теперь выразим квадратные члены как квадраты биномов и упростим:

$(x + 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 9 - 1$

$(x + 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 8$

Теперь у нас уравнение сферы в стандартной форме:

$(x + 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 8$

Сравнивая с общим уравнением сферы $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$, получаем:

Центр сферы: $(a, b, c) = (-3, 0, 1)$ Радиус сферы: $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Задание 2: Найти угол между векторами AB и CD

Вектор AB: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4 - 1, -2 - (-1), 0 - (-2)) = (3, -1, 2)$ Вектор CD: $\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (2 - 0, 6 - 2, -5 - (-4)) = (2, 4, -1)$