Question

При каком значении а уравнение x^3-14^2+ax-27=0 имеет три различных действительны корня образующих геометрическую прогрессию ​​

Answer 1

Ответ:

При таком условии если а не равна 0

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^3 - 14x^2 + ax - 27 = 0$ имело три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию, нужно выполнение следующих условий:

1. Уравнение должно иметь три действительных корня.
2. Эти корни должны образовывать геометрическую прогрессию.

Пусть $r$ будет знаменателем этой геометрической прогрессии. Тогда первый член $a_1$ будет равен $r^2$, а второй член $a_2$ будет равен $r^3$.

Исходя из этого, мы можем записать:

1. $a_1 + a_2 + a_3 = 14$ (сумма корней кубического уравнения равна коэффициенту при $x^2$, который в данном случае равен -14).
2. $a_1 \cdot a_3 = (a_2)^2$ (свойство геометрической прогрессии).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

Для первого уравнения: $a_1 + a_2 + a_3 = 14$.

Для второго уравнения: $a_1 \cdot a_3 = (a_2)^2$.

Используем выражение для суммы кубов корней: $a_1 + a_2 + a_3 = 0$. Теперь мы можем записать второе уравнение как $a_1 \cdot a_3 = -(a_1 + a_3)^2$.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. $a_1 + a_2 + a_3 = 0$
2. $a_1 \cdot a_3 = -(a_1 + a_3)^2$

Решение этой системы даст нам значения $a_1$ и $a_3$, и следовательно, значение $a$.

Пожалуйста, заметьте, что существует бесконечно много пар значений $a_1$ и $a_3$, которые удовлетворяют этой системе уравнений, и каждая пара будет соответствовать различным значениям $a$, при которых уравнение будет иметь три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.