Question

В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов равна одной из сторон треугольника. Верно ли, что этот треугольник - прямоугольный? (Не забудьте доказать полученный Вами ответ)

Answer 1

Ответ:

Нет. Не обязательно.

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами sqrt(5), sqrt(5) и 2. Он не является прямоугольным по обратной теореме Пифагора (в любом варианте: 5+4 не равно 5 и 5+5 не равно 4). Но биссектриса, проведенная из вершина угла напротив основания треугольника, имеет длину sqrt(5-1)=2, и равна по длине основанию треугольника (длина такая, поскольку эта биссектриса и высота, и медиана. Можно применить теорему Пифагора).

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее и докажем, что такой треугольник не обязательно является прямоугольным.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором биссектриса угла A (пусть это биссектриса AD) равна одной из сторон треугольника, скажем, стороне AC. То есть, мы имеем AD = AC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, это означает, что стороны AB и AC также равны между собой: AB = AC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD, где BD - это вторая биссектриса угла A. Поскольку AD = AC и треугольник ABD является прямоугольником (поскольку AD является биссектрисой угла A), это также означает, что AD = BD.

Теперь у нас есть два равенства: AD = AC и AD = BD. Следовательно, AC = BD.

Таким образом, мы имеем треугольник ABC, в котором стороны AB, AC и BD равны между собой. Это означает, что треугольник ABC - равносторонний треугольник.

Итак, мы доказали, что равнобедренный треугольник с биссектрисой одного из углов, равной одной из его сторон, на самом деле является равносторонним, но не обязательно прямоугольным.