Question

вычислить объем тела полученного вращением вокруг оси ох фигуры,ограниченной линиями y=x^2 +1, y=0,x=1,x=3

Answer 1

Ответ:

$y=x^2+1\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=1\ \ ,\ \ x=3\\\\V=\pi \int\limits^a_b\, f^2(x)\, dx=\pi \int\limits^3_1\, (x^2+1)^2\, \, dx=\pi \int\limits^3_1\, (x^4+2x^2+1)\, dx=\\\\\\=\pi \cdot \Big(\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{2x^3}{3} +x\Big)\Big|_1^3=\pi \cdot \Big(\dfrac{243}{5}+18+3-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}-1\Big)=\\\\\\=\pi \cdot \Big(20+\dfrac{242}{5}-\dfrac{2}{3}\Big)=\dfrac{1016}{15}\cdot \pi$

Answer 2

Решение задачи в приложенном фото

Answer 3

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX, можно использовать метод цилиндров по толщине. Идея заключается в том, чтобы разбить фигуру на бесконечно маленькие вертикальные полоски и найти объем каждой из них. Затем интегрировать объемы этих полосок, чтобы получить общий объем.

Функции y = x^2 + 1 и y = 0 образуют верхнюю и нижнюю границы фигуры. Интервал интегрирования для x будет от 1 до 3, так как x = 1 и x = 3 - это вертикальные линии, которые ограничивают фигуру.

Объем каждой вертикальной полоски будет равен площади сечения этой полоски, умноженной на бесконечно малую толщину dx.

Сначала найдем выражение для площади сечения полоски. Площадь такой полоски можно найти как разность площадей двух функций:

Площадь = площадь верхней границы - площадь нижней границы Площадь = (pi * (y_верхней)^2) - (pi * (y_нижней)^2) Площадь = pi * [(x^2 + 1)^2 - 0^2] Площадь = pi * (x^4 + 2x^2 + 1)

Теперь мы знаем, что объем каждой полоски равен pi * (x^4 + 2x^2 + 1) * dx.

Теперь интегрируем это выражение от x = 1 до x = 3, чтобы найти общий объем:

V = ∫[1, 3] (pi * (x^4 + 2x^2 + 1)) dx

Вычислим этот интеграл:

V = pi * [ (1/5)x^5 + (2/3)x^3 + x ] |[1, 3]

V = pi * [(1/5 * 3^5 + 2/3 * 3^3 + 3) - (1/5 * 1^5 + 2/3 * 1^3 + 1)]

V = pi * [(243/5 + 54 + 3) - (1/5 + 2/3 + 1)]

V = pi * [(297/5 + 54) - (20/15 + 10/15 + 15/15)]

V = pi * [(297/5 + 54) - (45/15 + 30/15 + 15/15)]

V = pi * [(297/5 + 54) - (90/15)]

V = pi * [(297/5 + 54) - (6)]

V = pi * [(297/5 + 54 - 30/5)]

V = pi * [(297 + 270 - 30)/5]

V = pi * (537/5)

Итак, объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси OX, равен (537/5) * pi кубических единиц.