Question

Функция y=xlnx в точке x0=e^-1 a)имеет максимум b)имеет минимум c)не имеет экстремума

Answer 1

y= x·lnx

Область определения функции:

x>0

y` = x`·lnx + x·(lnx)`

y` = lnx + x·(1/x)

y` = lnx + 1

y` = 0

lnx + 1 = 0   ⇒  lnx = - 1  ⇒  x = e ⁻ ¹

y` > 0  при  x > e ⁻ ¹

y` < 0  при  0< x < e ⁻ ¹

x=e ⁻ ¹ -  точка минимума, производная меняет знак с - на +

Answer 2

Давайте проанализируем функцию $y = x \ln x$ в точке $x_0 = e^{-1}$.

Для нахождения экстремума (максимума или минимума) функции в данной точке, мы можем использовать производную функции. Сначала найдем производную:

$y = x \ln x$

Используем правило производной произведения функций:

$\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = e^{-1}$:

$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x = e^{-1}} = \ln (e^{-1}) + 1 = -1 + 1 = 0$

Производная в данной точке равна 0. Это означает, что у нас есть стационарная точка (точка, где производная равна нулю), которая может быть экстремумом.

Для определения, является ли это максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна, то это будет минимум, если отрицательна — максимум. Если вторая производная равна 0, тогда тест не дает определенного ответа.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\ln x + 1) = \frac{1}{x}$

Теперь подставим $x = e^{-1}$ во вторую производную:

$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x = e^{-1}} = \frac{1}{e^{-1}} = e$

Поскольку вторая производная положительна ($e > 0$), это означает, что функция имеет минимум в точке $x_0 = e^{-1}$.

Итак, ответ: функция $y = x \ln x$ в точке $x_0 = e^{-1}$ имеет минимум.