Question

Может ли у тригонометрического уравнения быть комплексные корни?

Answer 1

Да, приведу самый простой пример:

$cos(x) = 2$

Очевидно, что действительных решений тут нет.

Попробуем найти комплексные:

$></p> <p>Сделаем замену : <img src=$

$t+1/t = 4\\t^2-4t+1 = 0\\D/4 = 4-1 = 3\\t_{1,2} = 2+-\sqrt{3} \\e^{ix} = 2+-\sqrt{3}\\x_{1,2} =-iln(2+-\sqrt{3} )$

Answer 2

Да, тригонометрические уравнения могут иметь комплексные корни. Такие уравнения включают в себя тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс и др.), а их решениями могут быть как действительные числа, так и комплексные числа.

Пример тригонометрического уравнения с комплексными корнями:

$$\sin(x) = i,$$

где $i$ - мнимая единица. Это уравнение имеет два комплексных корня:

1. $x = \frac{\pi}{2} + \ln(i + \sqrt{1 - i^2})$, где $\ln$ - натуральный логарифм.
2. $x = \frac{3\pi}{2} - \ln(i + \sqrt{1 - i^2})$.

Важно отметить, что решение тригонометрических уравнений может включать комплексные числа, если это необходимо для удовлетворения уравнения.