Question

Вычислите S=2/(4∙2!)+2/(5∙3!)+2/(6∙4!)+2/(7∙5!)+2/(8∙6!)+⋯.

Answer 1

Сразу вынесем 2 за скобку. Считаем сумму $\frac{1}{4\times2!}+\frac{1}{5\times 3!}+...=\sum\limits_{t=2}^{\infty}\frac{1}{(t+2)t!}$, причем легко показать, что эта сумма сходится. Действительно, эта сумма меньше, чем $\sum\limits_{t=0}^{\infty}\frac{1}{t!}=e$.

Перепишем общий член нашей суммы: $\frac{1}{(t+2)t!}=\frac{(t+1)}{(t+2)(t+1)t!}=\frac{t+1}{(t+2)!}=\frac{t+2-1}{(t+2)!}=\frac{1}{(t+1)!}-\frac{1}{(t+2)!}$. Имеем: $S=2\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{t=2}^N ({\frac{1}{(t+1)!}-\frac{1}{(t+2)!})=2\lim\limits_{N\to\infty}(\frac{1}{3!}-\frac{1}{(N+2)!})=2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.

Answer 2

Данная последовательность представляет собой сумму ряда, где каждый элемент выглядит как 2 / (n * (n-2)!), начиная с n = 4. Раскроем формулу для n-го элемента:

2 / (n * (n-2)!) = 2 / (n * (n-2) * (n-3)!)

Мы можем упростить это выражение, разделив числитель и знаменатель на n:

2 / (n * (n-2) * (n-3)!) = 2 / [(n-1) * (n-3)!]

Теперь мы можем записать сумму ряда:

S = 2 / [(4-1) * (4-3)!] + 2 / [(5-1) * (5-3)!] + 2 / [(6-1) * (6-3)!] + 2 / [(7-1) * (7-3)!] + 2 / [(8-1) * (8-3)!] + ...

S = 2/3! + 2/4! + 2/5! + 2/6! + 2/7! + ...

Теперь подставим значения факториалов:

S = 2/6 + 2/24 + 2/120 + 2/720 + 2/5040 + ...

Суммируя эти дроби, получим приближенное значение для S.