Question

38.При якому значенні параметра а рівняння ax2+(a2−1)x+5 = 0 має корені рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком?

Answer 1

Квадратне рівняння має два корені, рівні за модулем і протилежні за знаком (тобто віддзеркалені відносно осі Y), тоді, коли функція є парною, тобто графік симетричний відносно осі Y. Для цього другий член має дорівнювати нулю:

$a^2-1=0\\a^2=1\\a=\pm 1$

Перевіримо варіант $a=1$:

$x^2+5=0\\D=-4 \cdot 1 \cdot 5=-20$

Тут дійсних коренів немає.

Перевіримо варіант $a=-1$:

$-x^2+5=0\\x^2-5=0\\x^2=5\\x=\pm \sqrt 5$

Відповідь: $a=-1$

Answer 2

Для рівняння ax^2 + (a^2 - 1)x + 5 = 0, щоб мати корені, рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком, треба, щоб дискримінант (D) був додатнім числом.

Дискримінант обчислюється за формулою: D = (a^2 - 1)^2 - 4a(5)

Розкриваючи дужки та спрощуючи вираз, отримаємо: D = a^4 - 2a^2 + 1 - 20a

Тепер треба вирішити нерівність D > 0:

a^4 - 2a^2 + 1 - 20a > 0

Розв'язавши цю нерівність, отримаємо два інтервали, в яких параметр "а" може приймати значення:

a ∈ (-∞, -1) ∪ (1, 2)

Отже, для значень параметра "а" з цих інтервалів рівняння ax^2 + (a^2 - 1)x + 5 = 0 матиме корені, рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком.