Question

Сумма трёх подряд идущих членов арифметической прогрессии равна 60. Если большее из них утроить, а среднее увеличить на 10, то полученные три числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Чему равен знаменатель полученной геометрической прогрессии? В ответе укажите больший из возможных вариантов. Помогите плз!​

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

Пусть разность арифметической прогрессии равна d, второй из трёх подряд идущих членов — a. Тогда даны члены a-d, a, a+d. Их сумма равна 3a = 60 ⇒ a = 20.

По условию числа 20-d, 30, 3(20+d) составляют геометрическую прогрессию. Воспользуемся её характеристическим свойством:

$30^2=(20-d)\cdot3(20+d)\\300=400-d^2\\d=\pm 10$

Значит, был дан набор 10, 20, 30 или 30, 20, 10. В первом случае получились числа 10, 30, 90, знаменатель q = 3, во втором — 30, 30, 30, знаменатель q = 1. Больший из возможных вариантов — 3.

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда второй член будет равен a + d, а третий член - a + 2d.

Из условия задачи у нас есть два уравнения: (a + a + d + a + 2d) = 60 (1) - сумма трех подряд идущих членов арифметической прогрессии равна 60. (a + d) * 3 = (a + d) * (a + 10) * (a + 3d) (2) - полученные три числа в геометрической прогрессии.

Раскроем скобки в уравнении (2): 3a + 3d = (a^2 + 13a + 30d + 30ad + 3ad + 10a + 10d + ad + 30d^2) (3)

Уравнение (3) можно упростить: 3a + 3d = a^2 + 13a + 30d + 30ad + 3ad + 10a + 10d + ad + 30d^2 0 = a^2 + 13a + 30d + 30ad + 3ad + 10a + 10d + ad + 30d^2 - 3a - 3d 0 = a^2 + 13a - 3a + 10a + 30ad + 3ad + ad + 30d^2 + 10d - 3d 0 = a^2 + 20a + 34ad + 13ad + 30d^2 + 7d 0 = a^2 + 33a + 47ad + 30d^2 + 7d (4)

Теперь заметим, что разность арифметической прогрессии d не равна нулю, иначе все члены прогрессии были бы одинаковыми, а условие задачи не выполнилось бы. Следовательно, можем разделить уравнение (4) на d: 0 = (a^2 + 33a + 47ad + 30d^2 + 7d) / d 0 = (a^2 / d) + 33a / d + 47a + 30d + 7

Обозначим a / d = k. Тогда получим: 0 = k^2 + 33k + 47k + 30 + 7 0 = k^2 + 80k + 37 (5)

Решим уравнение (5) с помощью квадратного трёхчлена: k = (-80 ± √(80^2 - 4137)) / 2 k = (-80 ± √(6400 - 148)) / 2 k = (-80 ± √6252) / 2 k = (-80 ± 79.09) / 2

Учитывая, что больший из возможных в