Question

Делится ли число 111...1 81 раз на 81? Опишите разныеми способами подробно чтоб даже отсталый понел

Answer 1

Ответ:

Да, делится

Объяснение:

заметим, что число 111...11 (81 раз) можно представить в виде 111111111((9 раз)[phone]*10^9 + ... + 111111111*10^72 = 111111111*(1+10^9+10^18+...+10^72) заметим, что число 111111111 делится на 9 по признаку делимости на 9 (сумма цифр равна 9), и число (1+10^9+...+10^72) делится на 9 (9 слагаемых, каждое имеет остаток 1 по модулю 9 или другое объяснение, что получится число с кучей 0 и девятью единицами, значит тоже сумма цифр = 9 и по признаку делимости делится на 9). Таким образом, первый множитель делится на 9 и второй делится на 9, значит произведение делится на 9*9, то есть делится на 81

Answer 2

Да, число 111...1, состоящее из 81 единицы, делится на 81. Я расскажу вам несколько способов, чтобы даже новичок мог понять.

Способ 1: Разложение числа на множители Мы можем разложить число 111...1 на множители и проверить, делится ли оно на 81. Давайте посмотрим на самое простое разложение числа на множители: 111...1 = 11 * 10^0 + 11 * 10^1 + 11 * 10^2 + ... + 11 * 10^79.

Теперь давайте заметим, что каждый член этой суммы является числом, кратным 11 (так как каждый член - это число 11, умноженное на степень 10). Таким образом, каждый член суммы делится на 11.

Также заметим, что 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^79 - это сумма убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 10. Мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии для вычисления этой суммы:

10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^79 = (10^(80) - 1) / (10 - 1) = (10^80 - 1) / 9.

Теперь мы можем записать наше число как:

111...1 = 11 * ((10^80 - 1) / 9).

Для проверки делимости числа на 81, нам нужно убедиться, что (10^80 - 1) / 9 делится на 81.

Теперь заметим, что 10^80 - 1 = (10^8)^10 - 1 = (100^4)^10 - 1. Мы можем заметить, что 100^4 - 1 = 99 * 101 * 10001, и это число является произведением трех простых множителей. Таким образом, (10^80 - 1) делится на 99, 101 и 10001.

Мы также знаем, что 9 = 3^2. Если число делится на 81, оно также должно делиться на 3^2. Таким образом, (10^80 - 1) / 9 должно делиться на 81.

Итак, мы доказали, что число 111...1, состоящее из 81 единицы, делится на 81.

Способ 2: Проверка деления на 81 Другой способ увидеть, что число 111...1 делится на 81, заключается в прим