Question

Найдите количество корней уравнения tg2x=2–2x в интервале [0; 2straight pi]

Answer 1

На промежутке [0; 2π] уравнение

$tg2x=2-2x$

имеет 5 корней, так как графики функций

$y=tg2x$     и      $y=2-2x$

имеют 5 точек пересечения на этом промежутке

Answer 2

Для нахождения корней уравнения $\tan(2x) = 2 - 2x$ в интервале [0, $2\pi$], мы можем использовать графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции. Но давайте сначала рассмотрим аналитический подход.

Первым шагом будет выразить $2x$ в правой части уравнения, чтобы получить:

$2x = \tan^{-1}(2 - 2x).$

Теперь мы знаем, что $\tan^{-1}(x)$ (или $\arctan(x)$) определено только в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, и это монотонно возрастающая функция. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы $2 - 2x$ находилось в этом интервале. Решим неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < 2 - 2x < \frac{\pi}{2}.$

Поделим все части неравенства на -2:

$\frac{\pi}{4} > x > -\frac{\pi}{4}.$

Теперь мы знаем, что $x$ должно находиться в интервале $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$, чтобы уравнение имело решение.

Далее, давайте рассмотрим, сколько раз функции $f(x) = \tan(2x)$ и $g(x) = 2 - 2x$ пересекаются в этом интервале.

Функция $f(x)$ - это тангенс двойного угла, который имеет период $\pi$ и пересекается с осью абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} k$, где $k$ - целое число.

Функция $g(x)$ - это линейная функция с наклоном -2 и пересекается с осью абсцисс в точке $x = 1$.

Таким образом, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь два решения в интервале $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$. Однако, нам нужно убедиться, что существует хотя бы одно решение в заданном интервале $[0, 2\pi]$.

Находим численно корни уравнения $f(x) = g(x)$ в указанном интервале (например, с помощью метода бисекции или метода Ньютона). Допустим, мы найдем одно решение $x_1$ в интервале $[0, \pi]$ и второе решение $x_2$ в интервале $[\pi, 2\pi]$.

Таким образом, уравнение $\tan(2x) = 2 - 2x$ имеет два корня в интервале $[0, 2\pi]$.