Question

А)2•16^(cosx) +4^(cosx) -1=0 решить Б) найти наименьший положительный корень

Answer 1

$2\cdot 16^{cosx}+4^{cosx}-1=0\Leftrightarrow 2\cdot 4^{2cosx}+4^{cosx}-1=0\\\left ( 4^{cosx}+1 \right )\left ( 2\cdot 4^{cosx}-1 \right )=0\Rightarrow 4^{cosx}=\left \{ -1;\frac{1}{2} \right \}\\2cosx=-1\Rightarrow x=\left \{ \frac{2\pi}{3}+2\pi k;\frac{4\pi }{3}+2\pi k \right \},k\in \mathbb{Z}$

Ответ:   $\frac{2\pi}{3}$

Answer 2

Для уравнения $2 \cdot 16^{\cos(x)} + 4^{\cos(x)} - 1 = 0$ вам потребуется использовать численные методы, так как это трансцендентное уравнение, и нет аналитического способа найти его точные корни. Один из популярных численных методов - это метод Ньютона.

Итак, давайте попробуем использовать метод Ньютона для нахождения приближенных корней данного уравнения.

1. Выберем начальное приближение $x_0$. Для уравнений такого типа хорошо выбирать начальное приближение вблизи решения. Давайте возьмем, например, $x_0 = \pi/2$.

2. Выпишем общий вид метода Ньютона: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},$ где $f(x) = 2 \cdot 16^{\cos(x)} + 4^{\cos(x)} - 1$ и $f'(x)$ - производная функции $f(x)$.

3. Вычислим $f'(x)$: $f'(x) = -2 \cdot \ln(16) \cdot 16^{\cos(x)} \cdot \sin(x) - \ln(4) \cdot 4^{\cos(x)} \cdot \sin(x).$

4. Применим метод Ньютона с выбранным начальным приближением $x_0 = \pi/2$: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.$

5. Повторим шаг 4 несколько раз, пока значение $x$ не перестанет существенно меняться.

Итеративно применяя этот процесс, вы сможете приближенно найти корни уравнения. Однако, для нахождения наименьшего положительного корня, вам, возможно, придется экспериментально подбирать начальные приближения, чтобы получить конкретное число.