Question

Найдите область значения функции f(x)=√x²+4-3(x² и 4 под корнем)

Answer 1

f(x)=√(x²+4)-3; √4=2; 2-3=-1;

Наименьшее подкоренное выражение при х=0, остальные при любом х больше 4, поэтому Е(у)=[-1;+∞)

Answer 2

Для определения области значений функции f(x) = √(x² + 4 - 3√(x² + 4)) нужно учесть, что под корнем не должно быть отрицательного значения, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Рассмотрим выражение под первым корнем: x² + 4 - 3√(x² + 4). Чтобы это выражение было неотрицательным, необходимо выполнение двух условий:

1. x² + 4 >= 0 (чтобы x² + 4 было неотрицательным).
2. x² + 4 >= 3√(x² + 4) (чтобы 3√(x² + 4) не превышало x² + 4).

Рассмотрим первое условие: x² + 4 >= 0. Это неравенство выполняется для всех действительных x, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, и при добавлении положительного числа 4 результат остается неотрицательным.

Теперь рассмотрим второе условие: x² + 4 >= 3√(x² + 4). Для упрощения неравенства возведем его в квадрат:

(x² + 4)² >= 9(x² + 4).

Раскроем квадрат слева:

x^4 + 8x² + 16 >= 9x² + 36.

Переносим всё в одну сторону:

x^4 - x² - 20 >= 0.

Это неравенство можно решить, используя методы анализа знаков. Корни этого неравенства лежат в интервалах (-∞, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 4), и (4, +∞). Значение x^4 - x² - 20 положительно вне этих интервалов и отрицательно внутри них.

Итак, областью значений функции f(x) = √(x² + 4 - 3√(x² + 4)) будут все неотрицательные числа, так как условие x² + 4 >= 0 выполняется для всех действительных x.