Question

Вася написал в каждой клетке квадрата 5 × 5 одно из чисел +1, -1, 0. Затем он посчитал суммы чисел во всех строках, столбцах и двух главных диагоналях (из 5 клеток). Докажите, что среди этих сумм обязательно найдутся две равные

Answer 1

Ответ:

Пусть S - сумма всех чисел. Т.к. сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равны, то сумма одной строки или одного столбца равна .

Возьмём сумму первых двух верхних строчек, которая равна . В эту сумму входит сумма чисел верхнего левого квадрата 2х2, равная 10. Значит, сумма чисел в прямоугольнике высотой 2 и длиной 3 в верхнем правом углу равна .

Возьмём сумму нижних трёх строчек, равную , и в которую входит нижний правый квадрат 3х3 с суммой 15. Уберём из этих нижних трёх строчек квадрат 3х3. Останется прямоугольник высотой 3 и длиной 2, по площади равный верхнему прямоугольнику 2х3, и в которых суммы чисел тоже равны. В нижнем оставшемся прямоугольнике сумма чисел равна .

Приравниваем эти суммы и считаем S:

Ответ: 25

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, можно воспользоваться принципом Дирихле (принципом ящиков), который гласит: "Если n+1 объект распределить по n ящикам, то хотя бы в одном ящике будет как минимум два объекта".

В данном случае, у нас есть 11 сумм (5 строк, 5 столбцов и 2 диагонали), и каждая сумма может принимать одно из трех значений: +1, -1 или 0. Таким образом, мы имеем 3^11 различных комбинаций распределения сумм по возможным значениям.

Теперь предположим, что все 11 сумм различны. Тогда по принципу Дирихле, у нас должно быть как минимум 12 различных комбинаций. Однако у нас всего 3^11 комбинаций. Противоречие. Это означает, что как минимум две из наших 11 сумм должны быть одинаковыми.

Таким образом, мы доказали, что среди сумм, вычисленных Васей, обязательно найдутся две равные.