Question

Может у кого получится) cosx+sinx-3cosx•sinx-3=0

Answer 1

Ну... решим задание в лоб:

$\displaystyle cosx+sinx-3sinxcosx-3=0\\t=tg\frac{x}{2};sinx=\frac{2t}{1+t^2};cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\\\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}-3\frac{2t}{1+t^2}\frac{1-t^2}{1+t^2}-3=0|*(1+t^2)^2\\(1-t^2)(1+t^2)+2t(1+t^2)-6t(1-t^2)-3(1+t^2)^2=0\\1-t^4+2t+2t^3-6t+6t^3-3-6t^2-3t^4=0\\4t^4-8t^3+6t^2+4t+2=0|:2\\2t^4-4t^3+3t^2+2t+1=0$

$\displaystyle 2(t^4-2t^3+t^2)+t^2+2t+1=0\\2(t^2-t)^2+(t+1)^2=0$

А вот на этом месте уже можно делать вывод о том, что решений данного уравнения нет. Поскольку квадрат всегда положителен, то сумма всегда будет строго больше 0. А раз у данного уравнения решений нет, делается вывод об отсутствии решения у исходного уравнения.

Другой ход решения:

Если внимательно посмотреть на уравнение, то видно что равенство выполняется при условии:

$\displaystyle\begin{cases}sinx=1\\cosx=-1\end{cases}$

или

$\displaystyle\begin{cases}sinx=-1\\cosx=1\end{cases}$

Однако, обе этих системы решений не имеют. Не имеет его и исходная задача.

Answer 2

Давайте попробуем решить уравнение:

cos(x) + sin(x) - 3cos(x)sin(x) - 3 = 0

Сначала попробуем преобразовать его. Мы можем объединить cos(x) и sin(x) в один синус, используя тригонометрическую формулу sin(2x):

sin(2x) - 3cos(x)sin(x) - 3 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть синус и косинус в уравнении. Мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы избавиться от одной из переменных. Давайте выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = √(1 - cos^2(x))

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение:

sin(2x) - 3cos(x)√(1 - cos^2(x)) - 3 = 0

Теперь давайте заменим sin(2x) через известное тождество:

2sin(x)cos(x) - 3cos(x)√(1 - cos^2(x)) - 3 = 0

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной cos(x). Давайте обозначим cos(x) как t:

2t√(1 - t^2) - 3t - 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t. Давайте решим его, используя методы решения квадратных уравнений. Сначала умножим уравнение на √(1 - t^2), чтобы избавиться от корней:

2t(1 - t^2) - 3t√(1 - t^2) - 3√(1 - t^2) = 0

Теперь давайте заметим, что √(1 - t^2) не может быть равно нулю, так как корень из числа, которое не меньше 1, всегда положителен. Поэтому мы можем разделить обе стороны на √(1 - t^2):

2t(1 - t^2)/√(1 - t^2) - 3t - 3 = 0

2t(1 - t^2) - 3t√(1 - t^2) - 3√(1 - t^2) = 0

Теперь у нас есть уравнение без корней:

2t(1 - t^2) - 3t - 3 = 0

Раскроем скобки:

2t - 2t^3 - 3t - 3 = 0

Сгруппируем подобные члены:

-2t^3 - t - 3 = 0

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение численно или графически, так как оно не имеет простого аналитического решения.