Question

Найди два натуральных числа, если известно, что сумма их квадратов на 16 больше их удвоенного произведения, а их среднее арифметическое равно 7.

Answer 1

Ответ:

5; 9.

Объяснение:

Пусть 1 число Х, а второе - У.

Сумма их квадратов:

Х^2+У^2

Разность между суммой квад

ратов чисел Х и У и их удвоен

ной суммой:

Х^2+У^2-2ХУ

Составим первое уравнение

системы:

{Х^2+У^2-2ХУ=16

Среднее арифметическое чи

сел Х и У по определению:

(Х+У)/2

Составим второе уравнение сис

темы:

{(Х+У)/2=7

Осталось решить систему урав

нений:

{Х^2+У^2-2ХУ=16

{(Х+У)/2=7

Во втором уравнении Х выража

ем через У и подставляем в пер

вое:

{Х^2+У^2-2ХУ=16

{Х+У=14

{Х^2+У^2-2ХУ=16

{Х=14-У

(14-У)^2+У^2-2(14-У)У=16

196-28У+У^2+У^2-28У+2У^2-16=0

4У^2-56У+180=0 | :4

У^2-14У+45=0

D/4= 49-45=4=2^2>0

У_1=7-2=5

У_2=7+2=9

Х_1=14-У_1=14-5=9

Х_2=14-У_2=14-9=5

Ответ: (9; 5)

(5; 9).

Answer 2

Пусть два натуральных числа будут $x$ и $y$. Условие можно записать в виде уравнений:

1. Сумма их квадратов на 16 больше их удвоенного произведения: $x^2 + y^2 = 2xy + 16$

2. Их среднее арифметическое равно 7: $\frac{x + y}{2} = 7$

Из второго уравнения можно выразить одну из переменных, скажем, $x$: $x = 14 - y$

Подставляя это значение $x$ в первое уравнение: $(14 - y)^2 + y^2 = 2(14 - y)y + 16$ $196 - 28y + y^2 + y^2 = 28y + 16$ $2y^2 - 56y + 180 = 0$ $y^2 - 28y + 90 = 0$

Это уравнение квадратного трём членам. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 1$, $b = -28$, и $c = 90$: $y = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$ $y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 360}}{2}$ $y = \frac{28 \pm \sqrt{424}}{2}$ $y = \frac{28 \pm 2\sqrt{106}}{2}$ $y = 14 \pm \sqrt{106}$

Таким образом, возможные значения для $y$ - $14 + \sqrt{106}$ и $14 - \sqrt{106}$. Подставляя одно из этих значений в $x = 14 - y$, мы найдем соответствующие значения для $x$.

Итак, два натуральных числа, удовлетворяющих условию, это:

1. $x = 14 + \sqrt{106}$, $y = 14 - \sqrt{106}$
2. $x = 14 - \sqrt{106}$, $y = 14 + \sqrt{106}$