Question

Найдите наименьшее значение суммы 2|x-1| + |2x+1| + 4|x-4| + |5x+4|

Answer 1

Ответ:

2х-2+2х+1+4х-16+5х+4=13х-13=13|х-1|

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения, вам нужно проанализировать зоны, где модульные функции меняют свой знак. Вы можете поделить вещественную ось на участки между точками, где модульные функции меняют свой знак, и вычислить значение на каждом из этих участков. Затем сравните значения, чтобы найти наименьшее.

Обозначим точки, где модульные функции меняют свой знак:

1. x = -1/2 (точка, где |2x + 1| меняет знак).
2. x = 1 (точка, где |2x + 1| и |x - 1| меняют знак).
3. x = 4 (точка, где |x - 4| меняет знак).
4. x = -4/5 (точка, где |5x + 4| меняет знак).

Рассмотрим каждый из участков:

1. Для x < -1/2: 2|x - 1| = -2x + 2 |2x + 1| = -2x - 1 4|x - 4| = -4x + 16 |5x + 4| = -5x - 4

   Сумма на этом участке: -2x + 2 - 2x - 1 - 4x + 16 - 5x - 4 = -13x + 13.

2. Для -1/2 ≤ x < 1: 2|x - 1| = 2x - 2 |2x + 1| = 2x + 1 4|x - 4| = -4x + 16 |5x + 4| = 5x + 4

   Сумма на этом участке: 2x - 2 + 2x + 1 - 4x + 16 + 5x + 4 = 5x + 19.

3. Для 1 ≤ x < 4: 2|x - 1| = 2x - 2 |2x + 1| = 2x + 1 4|x - 4| = 4x - 16 |5x + 4| = 5x + 4

   Сумма на этом участке: 2x - 2 + 2x + 1 + 4x - 16 + 5x + 4 = 13x - 13.

4. Для x ≥ 4: 2|x - 1| = 2x - 2 |2x + 1| = 2x + 1 4|x - 4| = 4x - 16 |5x + 4| = 5x + 4

   Сумма на этом участке: 2x - 2 + 2x + 1 + 4x - 16 + 5x + 4 = 13x - 13.

Теперь сравним значения на каждом из участков:

1. -13x + 13 при x < -1/2.
2. 5x + 19 при -1/2 ≤ x < 1.
3. 13x - 13 при 1 ≤ x < 4.
4. 13x - 13 при x ≥ 4.

Наименьшее значение будет в случае x = -1/2:

5x + 19 = 5(-1/2) + 19 = -2.5 + 19 = 16.5.

Итак, наименьшее значение суммы равно 16.5.