Question

Розв'яжіть нерiвнiсть 1) (x+3)(x-1)(x+4)<0 2) (x-7)(x+8)(x-12)>0 3) (3x+2)(x-5)(4x-1)>0

Answer 1

все решаем методом интервалов.

1. х=-4; х=-3; х=1

____-4____-3_________1______

-              +            -                   +

х∈(-∞;-4)∪(-3;1)

2.

х=-8; х=7; х=12

__-8_____7_______12____

-           +           -              +

х∈(-8;7)∪(12;+∞)

3.

х=-2/3; х=1/4;  х=5

___-2/3_______1/4__________5___

-                 +                    -                   +

х∈(-2/3;1/4)∪(5;+∞)

Answer 2

Для вирішення цих нерівностей потрібно знайти інтервали, на яких вони виконуються. Для цього можна використовувати метод знаків або графічний підхід. Однак, якщо ви бажаєте, я можу виконати ці розрахунки для вас.

1. (x+3)(x-1)(x+4) < 0: Знайдемо точки, в яких функція обертається зі знаку "+' на "-", або з "-" на "+". Тобто, де буде зміна знаку. Це відбувається в точках, де множник дорівнює нулю: x + 3 = 0 => x = -3 x - 1 = 0 => x = 1 x + 4 = 0 => x = -4

Тепер візьмемо по одній точці з кожного інтервалу, що утворюється цими коренями, і перевіримо знаки множників на цих інтервалах:

• Візьмемо точку x = -5 (менше за -4). Підставимо в (x+3)(x-1)(x+4): (-5 + 3)(-5 - 1)(-5 + 4) = (-2)(-6)(-1) = 12 > 0.
• Візьмемо точку x = 0 (між -4 і 1). Підставимо в (x+3)(x-1)(x+4): (0 + 3)(0 - 1)(0 + 4) = (3)(-1)(4) = -12 < 0.
• Візьмемо точку x = 2 (між 1 і -3). Підставимо в (x+3)(x-1)(x+4): (2 + 3)(2 - 1)(2 + 4) = (5)(1)(6) = 30 > 0.

Отже, нерівність (x+3)(x-1)(x+4) < 0 виконується на інтервалах (-4, -3) і (1, +∞).

2. (x-7)(x+8)(x-12) > 0: За аналогічним принципом знаходимо корені рівняння x-7=0 (x=7), x+8=0 (x=-8) і x-12=0 (x=12).

Підставляючи точки в інтервали:

• Візьмемо точку x = -10 (менше за -8). Підставимо в (x-7)(x+8)(x-12): (-10 - 7)(-10 + 8)(-10 - 12) = (-17)(-2)(-22) = 748 > 0.
• Візьмемо точку x = 10 (між 7 і 12). Підставимо в (x-7)(x+8)(x-12): (10 - 7)(10 + 8)(10 - 12) = (3)(18)(-2) = -108 < 0.

Отже, нерівність (x-7)(x+8)(x-12) > 0 виконується на інтервалах (-∞, -8) і (7, 12).

3. (3x+2)(x-5)(4x-1) > 0: Знову знаходимо корені рівнянь: 3x+2=0 (x=-2/3), x-5=0 (x=5) і 4x-1=0 (x=1/4).

Підставляючи точки в інтервали:

• Візьмемо точку x = -1 (менше за -2/3). Підставимо в (3x+2)(x-5)(4x-1): (3(-1) + 2)(-1 - 5)(4(-1) - 1) = (-1)(-6)(-5) = 30 > 0.
• Візьмемо точку x = 3 (між -2/3 і 5). Підставимо в (3x+2)(x-5)(4x-1): (3(3) + 2)(3 - 5)(4(3) - 1) = (11)(-2)(11) = -242 < 0.
• Візьмемо точку x = 2 (між 1/4 і 5). Підставимо в (3x+2)(x-5)(4x-1): (3(2) + 2)(2 - 5)(4(2) - 1) = (8)(-3)(7) = -168 < 0.

Отже, нерівність (3x+2)(x-5)(4x-1) > 0 виконується на інтервалах (-∞, -2/3) і (1/4, 5).