Question

Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: 1) bn = -5^2n; 2) bn = 2^3n;

Answer 1

Ответ:

да, обе

Объяснение:

1) -5²,$-5^{4},-5^{6},...$

$b_{1} =-5^{2} ; q=5^{2} ;b_{n}=b_{1}*q^{n-1} =-5^{2} *(5^{2}) ^{n-1} = \\-5^{2} *5^{2n-2} =-5^{2+2n-2}=-5^{2n}$

2)  $2^{3} ,2^{6} ,2^{9} ,...$

$b_{1} =2^{3} ; q=2^{3}; b_{n} =2^{3}*(2^{3})^{n-1}= 2^{3}*2^{3n-3} =2^{3+3n-3} =2^{3n}$

Answer 2

Для определения, является ли данная последовательность геометрической прогрессией, необходимо проверить, выполняется ли условие геометрической прогрессии для соседних членов:

Геометрическая прогрессия имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$, где $b_n$ - n-й член последовательности, $b_1$ - первый член последовательности, $q$ - знаменатель прогрессии, $n$ - номер члена последовательности.

Давайте применим эту формулу к данным последовательностям:

1. $b_n = -5^{2n}$

2. $b_n = 2^{3n}$

Для первой последовательности:

$b_n = -5^{2n} = -25^n$

Для второй последовательности:

$b_n = 2^{3n} = 8^n$

По определению геометрической прогрессии, если отношение двух соседних членов постоянно, то последовательность является геометрической прогрессией.

Для первой последовательности: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-25^{n+1}}{-25^n} = -25$

Для второй последовательности: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{8^{n+1}}{8^n} = 8$

Таким образом, в обоих случаях отношение соседних членов не является постоянным, а значит, данные последовательности не являются геометрическими прогрессиями.