Question

Найдите, при каких значениях числа а уравнение х2 = a -- 2:а) имеет два корня;б) имеет только один корень;в) не имеет корней.​

Answer 1

Ответ:

а) при а>2

б) при а=2

с) при отрицательном числе а

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях числа "а" уравнение $x^2 = \frac{a - 2}{a}$ имеет два корня, только один корень или не имеет корней, давайте анализировать это уравнение.

У нас есть следующее уравнение:

$x^2 = \frac{a - 2}{a}$

Чтобы упростить это уравнение, начнем с перемножения обеих сторон на $a$:

$x^2 \cdot a = a - 2$

Теперь давайте перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$x^2 \cdot a - a + 2 = 0$

Теперь это квадратное уравнение относительно $x$. Его можно решить, используя дискриминант (или дискриминантное условие) для определения количества корней:

Дискриминантное условие для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит следующим образом:

$D = b^2 - 4ac$

1. Если $D > 0$, то уравнение имеет два корня.
2. Если $D = 0$, то уравнение имеет только один корень (корень кратности 2).
3. Если $D < 0$, то уравнение не имеет корней.

В нашем случае:

$a = a$ $b = 0$ $c = -a + 2$

Теперь вычислим дискриминант:

$D = 0^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 2) = 4a^2 - 8a$

Теперь определим, при каких значениях "а" выполняются разные случаи:

а) Уравнение имеет два корня: Для этого $D > 0$: $4a^2 - 8a > 0$ Делаем сокращения и решаем: $4a(a - 2) > 0$ Теперь используем тестовые точки, например, $a = 0$ и $a = 3$:

• При $a = 0$: $4 \cdot 0(0 - 2) = 0 \cdot (-2) = 0$ (не удовлетворяет неравенству).
• При $a = 3$: $4 \cdot 3(3 - 2) = 12 \cdot 1 = 12 > 0$ (удовлетворяет неравенству). Таким образом, уравнение имеет два корня при $a > 2$.

б) Уравнение имеет только один корень: Для этого $D = 0$: $4a^2 - 8a = 0$ Вынесем общий множитель: $4a(a - 2) = 0$ Теперь найдем корни:

• $4a = 0 \Rightarrow a = 0$
• $a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ Таким образом, уравнение имеет только один корень при $a = 0$ и $a = 2$.

в) Уравнение не имеет корней: Для этого $D < 0$: $4a^2 - 8a < 0$ Делаем сокращения и решаем: $4a(a - 2) < 0$ Используем тестовые точки, например, $a = 1$ и $a = 3$:

• При $a = 1$: $4 \cdot 1(1 - 2) = 4 \cdot 1(-1) = -4 < 0$ (удовлетворяет неравенству).
• При $a = 3$: $4 \cdot 3(3 - 2) = 12 \cdot 1 = 12 > 0$ (не удовлетворяет неравенству). Таким образом, уравнение не имеет корней при $0 < a < 2$.

Итак, уравнение $x^2 = \frac{a - 2}{a}$ имеет:

• Два корня при $a > 2$.
• Только один корень при $a = 0$ и $a = 2$.
• Не имеет корней при $0 < a < 2$.