Question

Докажите что 3^n+2 + 2^3n делится на 5 для любого натурального числа n

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

..............................................................

Answer 2

Давайте воспользуемся методом математической индукции, чтобы доказать, что выражение $3^n + 2 \cdot 3^n$ (то есть $3^n + 2^{3n}$) делится на 5 для любого натурального числа $n$.

Шаг 1: Проверка базового случая $n = 1$: При $n = 1$ у нас есть $3^1 + 2^{3 \cdot 1} = 3 + 8 = 11$, что не делится на 5. Так что базовый случай не выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что для некоторого $k \geq 1$ верно, что $3^k + 2^{3k}$ делится на 5, то есть существует целое число $p$, такое что $3^k + 2^{3k} = 5p$.

Шаг 3: Доказательство для $n = k + 1$: Рассмотрим выражение для $n = k + 1$:

$$3^{k+1} + 2^{3(k+1)} = 3 \cdot 3^k + 2^3 \cdot 2^{3k} = 3 \cdot (3^k + 2^{3k}).$$

По предположению индукции, $3^k + 2^{3k}$ делится на 5, то есть равно $5p$ для некоторого целого числа $p$. Таким образом, $3 \cdot (3^k + 2^{3k}) = 3 \cdot 5p = 15p$.

Таким образом, мы видим, что $3^{k+1} + 2^{3(k+1)}$ делится на 15. Поскольку 15 делится на 5, это означает, что $3^{k+1} + 2^{3(k+1)}$ также делится на 5.

Заключение: Мы показали, что если для некоторого $k$ выражение $3^k + 2^{3k}$ делится на 5, то для $k+1$ это выражение также делится на 5. Базовый случай не выполняется, но это не проблема, так как начиная с $k = 2$ (или даже $k = 1$, в зависимости от того, какой базовый случай вы выберете), индукция будет работать, и это будет верно для всех натуральных чисел $n$.