Question

Найти общий вид первообразныхf = x -10cos 2x​

Answer 1

f(x)=cos(2x)

f

(

x

)

=

cos

(

2

x

)

Функция

F

(

x

)

может быть найдена с помощью вычисления неопределенного интеграла от производной

f

(

x

)

.

F

(

x

)

=

∫

f

(

x

)

d

x

Выпишем интеграл, чтобы решить его.

F

(

x

)

=

∫

cos

(

2

x

)

d

x

Пусть

u

=

2

x

. Тогда

d

u

=

2

d

x

, следовательно

1

2

d

u

=

d

x

. Переписать, используя

u

и

d

u

.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов...

∫

cos

(

u

)

1

2

d

u

Обьединяем

cos

(

u

)

и

1

2

.

∫

cos

(

u

)

2

d

u

Поскольку

1

2

является константой по отношению к

u

, вынесем

1

2

из интеграла.

1

2

∫

cos

(

u

)

d

u

Интеграл

cos

(

u

)

относительно

u

равен

sin

(

u

)

.

1

2

(

sin

(

u

)

+

C

)

Упростим.

1

2

sin

(

u

)

+

C

Заменим все

u

на

2

x

.

1

2

sin

(

2

x

)

+

C

Ответом является первообразная функции

f

(

x

)

=

cos

(

2

x

)

.

F

(

x

)

=

1

2

sin

(

2

x

)

+

C

Answer 2

Чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = x - 10cos(2x), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Возьмем первообразную от каждого члена функции по отдельности и объединим их.

Интегрируем x по отдельности: ∫ x dx = (1/2) x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Интегрируем -10cos(2x) по отдельности: ∫ -10cos(2x) dx = -10 * (1/2) * (sin(2x))/2 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Собираем все вместе: ∫ f(x) dx = (1/2) x^2 - 10 * (1/4) sin(2x) + C, где C = C1 + C2 - общая произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = x - 10cos(2x) равен: F(x) = (1/2) x^2 - 10 * (1/4) sin(2x) + C, где C - произвольная постоянная.