Question

Записать в тригонометрической и показательной форме z=1+i

Answer 1

$\displaystyle z=1+i\\|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\\argz=arctg\frac{1}{1}=arctg1=\frac{\pi}{4}\\z=\sqrt2(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})\\z=\sqrt2e^{\displaystyle\frac{\pi}{4}i}$

Answer 2

Комплексное число $z = 1 + i$ можно записать в тригонометрической и показательной форме.

1. Тригонометрическая форма: В тригонометрической форме комплексное число $z$ представляется как: $z = r (\cos \theta + i \sin \theta),$ где $r$ - модуль (расстояние от числа до начала координат), $\theta$ - аргумент (угол между положительным направлением действительной оси и линией, соединяющей число с началом координат).

Для $z = 1 + i$, вычислим модуль $r$ и аргумент $\theta$: $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},$ $\theta = \arctan \left( \frac{1}{1} \right) = \frac{\pi}{4}.$

Таким образом, тригонометрическая форма: $z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$

2. Показательная форма (экспоненциальная форма): В показательной форме комплексное число $z$ записывается как: $z = re^{i \theta},$ где $r$ - модуль, $\theta$ - аргумент.

Для $z = 1 + i$: $z = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}.$

Обратите внимание, что в данной форме используется экспонента $e$ в комплексной степени $i \theta$.