Question

Подскажите пожалуйста. Уравнение: 4^(x−2)+2*4^(x−1)=9 Подсмотренное решение: 4^(x-2)*(1+2⋅4)=9 4^(x-2)*9=9 4^(x-2)=1^0 x-2=0 x=2 Объясните пожалуйста суть первого действия, как вместо "...+2⋅4^(x−1)" получилось "...*(1+2⋅4)"

Answer 1

вынесли за скобку 4^(x-2)

$4^{x-2}+2*4^{x-1}=4^{x-2}\left(\frac{4^{x-2}}{4^{x-2}}+2*\frac{4^{x-1}}{4^{x-2}}} \right)=4^{x-2} ( 1+2*4^{x-1-(x-2)})= \\ \\ =4^{x-2}(1+2*4^{x-1-x+2})=4^{x-2}(1+2*4^1)=4^{x-2}(1+2*4)$

Answer 2

Конечно, я могу объяснить этот шаг. В уравнении у вас есть два слагаемых: 4^(x−2) и 2*4^(x−1). Для того чтобы произвести упрощение, можно заметить, что в обоих слагаемых есть общий множитель 4^(x−1). Можно факторизовать это слагаемое из обоих частей:

4^(x−2) + 24^(x−1) = 4^(x−1)(4^(-1) + 2) = 4^(x−1)(1/4 + 2) = 4^(x−1)(1/4 + 8/4) = 4^(x−1)*(9/4) = 9/4 * 4^(x−1)

Таким образом, выразив общий множитель 4^(x−1) как 9/4 * 4^(x−1), у вас получается новое уравнение:

4^(x−2) + 2*4^(x−1) = 9/4 * 4^(x−1)

Теперь вы можете домножить обе стороны уравнения на 4^(x−2), чтобы избавиться от знаменателя и упростить его:

4^(x−2) * (4^(x−2) + 2*4^(x−1)) = 4^(x−2) * (9/4 * 4^(x−1))

Таким образом, в левой части у вас получится 4^(2x−4) после умножения каждого слагаемого на 4^(x−2).

А в правой части, после дистрибутивного умножения, будет 9 * 4^(x−1). Так как у вас стоит задача достичь того, чтобы в обоих частях уравнения остались одинаковые степени числа 4, вы можете попытаться свести все к общему основанию, а затем приравнять степени:

4^(2x−4) = 9 * 4^(x−1)

Здесь вы видите, что в обеих частях у вас есть степени числа 4 с разными показателями. Далее, используя свойство равенства степеней с одинаковым основанием, можно приравнять показатели:

2x−4 = x−1

Решив это уравнение, вы получите x = 2, что и было найдено в подсмотренном решении.