Question

ДАЮ 10 БАЛІВ! Розв'яжіть нерівність 9^x-3^x≥6

Answer 1

6х^2>=6
х^2>=1
х є (беск;-1] U [1;+беск)
беск-бесконечность

Answer 2

Для розв'язання цієї нерівності, спробуємо спростити вирази з показниками степенів. Почнемо з даної нерівності:

$9^x - 3^x \geq 6.$

Спершу помітимо, що $9 = 3^2$, тому ми можемо переписати нерівність, використовуючи цю інформацію:

$(3^2)^x - 3^x \geq 6.$

Звернімо увагу, що $3^{2x} = (3^x)^2$. Тепер ми можемо переписати нерівність ще раз:

$(3^x)^2 - 3^x \geq 6.$

Давайте зробимо підстановку $u = 3^x$. Тоді ми отримаємо квадратну нерівність:

$u^2 - u \geq 6.$

Прирівняємо нерівність до нуля:

$u^2 - u - 6 \geq 0.$

Тепер ми можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Спершу знайдемо корені рівняння $u^2 - u - 6 = 0$:

$(u - 3)(u + 2) = 0.$

Отже, $u = 3$ або $u = -2$.

Тепер повернемося до підстановки: $u = 3^x$. Ми отримаємо два можливі значення для $u$: $3^x = 3$ або $3^x = -2$.

1. Якщо $3^x = 3$, то $x = 1$.

2. Однак $3^x$ завжди буде додатнім числом, тому немає розв'язків для $3^x = -2$.

Таким чином, єдиним розв'язком нерівності є $x = 1$.