Question

СРОЧНО!!! 50 БАЛЛОВ. Дана функция y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4). Найдите все значения параметра k, при которых прямая y=k имеет с графиком данной функции ровно три общие точки. В ответе запишите сумму всех возможных значений параметра k.

Answer 1

Ответ:

$k=\frac{9}{16}$

Объяснение:

Сделаем замену $x=t-\frac{5}{2}$

Подставим в исходную функцию, мы получим

$y=(t-\frac{3}{2})(t+\frac{3}{2})(t-\frac{1}{2})(t+\frac{1}{2})=t^{4}-\frac{5t^{2} }{2}+\frac{9}{16}$

Найдем экстремумы данной функции. Для этого вычислим ее производную и приравняем ее к нулю.

$y'=4t^{3}-5t=t(4t^{2}-5)=0\\t_{1}=-\frac{\sqrt{5} }{2} ; t_{2}=0 ; t_{3}=\frac{\sqrt{5} }{2}$

$t_{2} -$ точка максимума

$t_{1},t_{3} -$ точки минимума

График функции приведен ниже.

Прямая y=k пересекается с графиком ровно в трех точках, если она проходит через точку максимума данной функции, а именно точку с координатами $(0,\frac{9}{16})$. Значит $k=\frac{9}{16}$

Answer 2

Для того чтобы прямая y=k имела ровно три общие точки с графиком функции y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), эта прямая должна пересекать график три раза.

Поскольку функция y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) является многочленом четвертой степени, у неё может быть не более четырёх различных корней. То есть, график функции может пересекать прямую y=k не более чем четыре раза.

Для того чтобы найти значения параметра k, при которых прямая y=k пересекает график функции три раза, нужно найти такие значения k, при которых на интервалах между корнями функции (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) значение k будет пересекаться три раза.

Рассмотрим график функции и найдём корни:

y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

График данной функции имеет четыре корня: x = -4, x = -3, x = -2 и x = -1.

Теперь между корнями выберем интервалы и определим значения параметра k, которые пересекут график функции три раза:

1. Между x = -4 и x = -3: Выбираем любое k между значениями функции в точках x = -4 и x = -3. Например, выберем k = 0.

2. Между x = -3 и x = -2: Опять же, можно выбрать любое k между значениями функции в точках x = -3 и x = -2. Пусть k = 10.

3. Между x = -2 и x = -1: Аналогично, выбираем k между значениями функции в точках x = -2 и x = -1. Пусть k = 20.

Таким образом, мы нашли три значения параметра k, при которых прямая y=k пересекает график функции три раза: k = 0, k = 10 и k = 20.

Суммируем эти значения: 0 + 10 + 20 = 30.

Итак, сумма всех возможных значений параметра k равна 30.