Question

Найдите коэффициента х³ при разложении бинома (х +5)⁶​

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^6=a^6+C_6^1\, a^5b+C_6^2\, a^4\, b^2+C_6^3a^3b^3+C_6^4a^2b^4+C_6^5\, ab^5+b^6\ }\\\\\\(x+5)^6=...+C_6^3\, x^3\cdot 5^3+...=...+\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}\cdot x^3\cdot 125+...=\\\\=...+20\cdot x^3\cdot 125+...=...+2500\cdot x^3+...$

Коэффициент перед   $x^3$  равен 2500 .

Answer 2

Для нахождения коэффициента x³ при разложении бинома (x + 5)⁶ можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:

(x + y)ⁿ = C(n, 0) * xⁿ * y⁰ + C(n, 1) * xⁿ⁻¹ * y¹ + C(n, 2) * xⁿ⁻² * y² + ... + C(n, n-1) * x¹ * yⁿ⁻¹ + C(n, n) * x⁰ * yⁿ,

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k.

Применяя данную формулу к нашему биному (x + 5)⁶, мы имеем:

(x + 5)⁶ = C(6, 0) * x⁶ * 5⁰ + C(6, 1) * x⁵ * 5¹ + C(6, 2) * x⁴ * 5² + C(6, 3) * x³ * 5³ + C(6, 4) * x² * 5⁴ + C(6, 5) * x¹ * 5⁵ + C(6, 6) * x⁰ * 5⁶.

Коэффициент при x³ получается из слагаемого C(6, 3) * x³ * 5³. Вычислим его:

C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20.

Таким образом, коэффициент x³ при разложении (x + 5)⁶ равен 20 * x³ * 5³ = 20x³ * 125 = 2500x³.