Question

С помощью параболы y=x^2 постройте график функции y=x^2−4x+7, выделив полный квадрат. Найдите множество значений функции и укажите промежутки монотонности.

Answer 1

Объяснение:

Выделим полный квадрат:

x²- 4x + 7 = x² - 2·2·x + 4 + 3 = (x-2)² + 3

Таким образом, график функции y = x²- 4x + 7 получается смещением графика y = x²

на 3 вверх по оси OY

на 2 вправо по оси OX

Множество значений:

E(y) = [3; +∞)

Такая функция:

убывает на промежутке (-∞; 2)

возрастает на промежутке (2; +∞)

Answer 2

Чтобы построить график функции y = x^2 - 4x + 7 и выделить полный квадрат, начнем с завершения квадратного трехчлена x^2 - 4x.

Для завершения квадратного трехчлена мы добавим и вычтем (4/2)^2 = 4, чтобы получить:

y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3

Теперь мы выразили исходную функцию в виде полного квадрата: y = (x - 2)^2 + 3.

График функции y = x^2 - 4x + 7 будет иметь тот же общий вид, что и график функции y = x^2, но будет сдвинут вправо на 2 единицы и вверх на 3 единицы.

Множество значений функции: Так как квадратное выражение (x - 2)^2 всегда неотрицательно (так как это квадрат), то минимальное значение y будет равно 3, когда (x - 2)^2 = 0. Таким образом, множество значений функции y = x^2 - 4x + 7 будет [3, ∞).

Промежутки монотонности: График функции y = x^2 - 4x + 7 представляет собой параболу, которая открывается вверх. Это означает, что функция будет монотонно возрастать на интервале (-∞, 2) и монотонно убывать на интервале (2, ∞), так как вершина параболы находится в точке (2, 3), и функция будет двигаться вверх по мере приближения к этой точке, а затем двигаться вниз по мере удаления от неё.