Question

Решите методом интервалов неравенств А) (x + 7)(3x – 2) > 0;Б) x(2x-1)(3x+8) >или = 0​

Answer 1

а) х=-7; х=2/3

____-7_________2/3________

+               -                       +

х∈(-∞; -7)∪(2/3;+∞)

б) х=0; х=0.5; х=-2   2/3

______-2 2/3________0____0.5______

-                       +                 -                +

[-2 2/3; 0]∪[0.5; +∞)

Answer 2

Для решения неравенств методом интервалов нужно определить интервалы значений переменной $x$, при которых выражение больше нуля (или больше или равно нулю) в каждом из заданных случаев.

А) $(x + 7)(3x - 2) > 0$

Давайте рассмотрим интервалы, в которых каждый из множителей положителен и интервалы, в которых он отрицателен, а затем найдем пересечения этих интервалов.

1. Интервал, в котором оба множителя положительны:

   • $x + 7 > 0$ (так как $3x - 2$ также должен быть положителен)
   • $x > -7$

2. Интервал, в котором оба множителя отрицательны:

   • $x + 7 < 0$ (так как $3x - 2$ также должен быть отрицательным)
   • $x < -7$

Таким образом, у нас есть два интервала, где выражение $(x + 7)(3x - 2)$ больше нуля:

1. $x > -7$ и $3x - 2 > 0$ (то есть $x > \frac{2}{3}$)
2. $x < -7$ и $3x - 2 < 0$ (то есть $x < \frac{2}{3}$)

Итак, решение данного неравенства: $x < \frac{2}{3}$ или $x > -7$.

Б) $x(2x - 1)(3x + 8) \geq 0$

Для решения этого неравенства мы также рассмотрим интервалы, в которых каждый множитель положителен или нулевой, и интервалы, в которых он отрицателен.

1. Интервал, в котором все множители положительны:

   • $x > 0$ (так как $2x - 1$ и $3x + 8$ также положительны)

2. Интервал, в котором два множителя отрицательны, а один положителен:

   • $0 < x < \frac{1}{2}$ (так как $2x - 1 < 0$ и $3x + 8 > 0$)

3. Интервал, в котором один множитель положителен, а два отрицательны:

   • $x < 0$ (так как $2x - 1$ и $3x + 8$ отрицательны)

4. Интервал, в котором все множители отрицательны:

   • $x < -8$ (так как $3x + 8 < 0$ и $2x - 1 < 0$)

Таким образом, у нас есть три интервала, где выражение $x(2x - 1)(3x + 8)$ больше или равно нулю:

1. $0 < x < \frac{1}{2}$
2. $x > 0$
3. $x < -8$

Итак, решение данного неравенства: $x < -8$ или $0 \leq x < \frac{1}{2}$ или $x > 0$.