Question

Найдите коэффициент при x³ при биномальном разложении(2-3x)⁴​

Answer 1

Ответ:

-216

Объяснение:

коэффициент при х^3 равен сумме корней, умноженой на

коэффициент при наивысшей степени и взятый с противоположным

знаком (следствие теоремы Виета).

корень равен 2-3х=0  х=2/3

=-(2/3)*4*3^4=-8*3^3=-8*27=-216

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x³ в разложении бинома (2 - 3x)⁴, можно использовать формулу биномиального разложения, которая выглядит следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k$

В данном случае, $a = 2$, $b = -3x$, $n = 4$, и мы ищем коэффициент при $x^3$, что соответствует $k = 1$ в сумме.

Коэффициент биномиального разложения $\binom{n}{k}$ можно вычислить по формуле:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

где $n!$ обозначает факториал числа $n$.

В данном случае: $n = 4$ и $k = 1$.

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4$

Теперь разложим $(2 - 3x)^4$ с учетом коэффициента $\binom{4}{1}$:

$(2 - 3x)^4 = \binom{4}{0} \cdot 2^4 \cdot (-3x)^0 + \binom{4}{1} \cdot 2^3 \cdot (-3x)^1 + \binom{4}{2} \cdot 2^2 \cdot (-3x)^2 + \binom{4}{3} \cdot 2^1 \cdot (-3x)^3 + \binom{4}{4} \cdot 2^0 \cdot (-3x)^4$

Выражение $(-3x)^1$ дает нам искомый коэффициент, который равен $\binom{4}{1} \cdot 2^3 \cdot (-3x)^1 = 4 \cdot 8 \cdot (-3x) = -96x$.

Итак, коэффициент при $x^3$ в разложении $(2 - 3x)^4$ равен $-96$.