Question

Решите задачу с помощью системы уравнений. Площадь прямоугольного треугольника равна 85 〖см〗^2, а разность длин его катетов равна 7 см. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Answer 1

Ответ: корень из 389

Объяснение:

Во вложении

Answer 2

Пусть $x$ - длина одного катета прямоугольного треугольника, а $y$ - длина второго катета. Тогда, согласно условию задачи, у нас есть два уравнения:

1. Площадь прямоугольного треугольника: $\frac{1}{2}xy = 85$.

2. Разность длин катетов: $|x - y| = 7$.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения $x$ и $y$. Для этого есть несколько способов, но один из них - это выразить одну из переменных через другую из второго уравнения и подставить это выражение в первое уравнение.

Сначала рассмотрим два случая:

1. $x > y$: В этом случае $x - y = 7$, и мы можем выразить $x$ через $y$: $x = y + 7$.

Подставляем $x$ в первое уравнение: $\frac{1}{2}(y + 7)y = 85$. $y^2 + 7y - 170 = 0$.

Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или факторизацию: $(y - 10)(y + 17) = 0$.

Таким образом, $y = 10$ (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь, зная $y$, можем найти $x$: $x = y + 7 = 10 + 7 = 17$.

2. $y > x$: В этом случае $y - x = 7$, и аналогично можем выразить $y$ через $x$: $y = x + 7$.

Подставляем $y$ в первое уравнение: $\frac{1}{2}x(x + 7) = 85$. $x^2 + 7x - 170 = 0$.

Решаем квадратное уравнение: $(x - 10)(x + 17) = 0$.

Опять получаем $x = 10$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для длин катетов: $x = 17, y = 10$ или $x = 10, y = 17$.

Поскольку в обоих случаях гипотенуза будет вычисляться одинаково (по теореме Пифагора), давайте найдем длину гипотенузы для первого случая ($x = 17, y = 10$):

Длина гипотенузы ($c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{x^2 + y^2}$. $c = \sqrt{17^2 + 10^2} = \sqrt{289 + 100} = \sqrt{389}$, что является ответом.

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна $\sqrt{389}$ см.