Question

Решите систему уравнений с шагами, пожалуйста 3^lg(y)=4^lg(x) (4y)^lg(4)=(3x)^lg(3)

Answer 1

Ответ:

x=1/3, y=1/4

Объяснение:

$\left \{ {{3^{lg(y)}=4^{lg(x)} \atop {(4y)^{lg(4)}=(3x)^{lg(3)}} \right.$

x > 0, y > 0

прологарифмируем оба уравнения:

$\left \{ {{lg(y)lg(3)=lg(x)lg(4)} \atop {lg(4)lg(4y)=lg(3)lg(3x)}} \right.$

Пусть lg(x) = m, lg(y) = n

$\left \{ {{nlg(3)=mlg(4)} \atop {lg(4)(lg(4)+n)=lg(3)(lg(3)+m)}} \right.$

Пусть lg(3) = a, lg(4) = b

n = b/a • m - из 1-го уравнения

2-е уравнение:

b(b+ b/a • m) - a(a + m) = 0

b² + b²/a • m - a² - am = 0

m • (b²/a - a) = a² - b²

m • (b² - a²)/a = -(b² - a²)

m = -a

n = -b/a • a = -b

Возвращаем старые переменные:

lg(x) = -lg(3)

lg(y) = -lg(4)

lg(x) = lg(1/3)

lg(y) = lg(1/4)

x = 1/3

y = 1/4

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом. Исходная система уравнений:

1. $3^{\log(y)} = 4^{\log(x)}$
2. $(4y)^{\log(4)} = (3x)^{\log(3)}$

Давайте начнем с первого уравнения:

1. $3^{\log(y)} = 4^{\log(x)}$

Поскольку $a^{\log_a(b)} = b$, мы можем преобразовать обе стороны уравнения, используя это свойство:

$3^{\log(y)} = y$ и $4^{\log(x)} = x$

Теперь у нас есть:

$y = x$

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. $(4y)^{\log(4)} = (3x)^{\log(3)}$

Сначала вычислим степени:

$(4y)^{\log(4)} = (4^{\log(4)})^{\log(y)} = 4^{\log(y)}$ $(3x)^{\log(3)} = (3^{\log(3)})^{\log(x)} = 3^{\log(x)}$

Используем те же свойства степеней и логарифмов, что и выше:

$(4y)^{\log(4)} = y^{\log(4)}$ и $(3x)^{\log(3)} = x^{\log(3)}$

Теперь у нас есть:

$y^{\log(4)} = x^{\log(3)}$

Так как мы уже выяснили, что $y = x$, мы можем подставить это значение:

$x^{\log(4)} = x^{\log(3)}$

Теперь мы видим, что основания степеней равны ($4$ и $3$), поэтому экспоненты также должны быть равны:

$\log(4) = \log(3)$

Это уравнение не имеет решений, так как логарифмы от различных чисел (в данном случае $4$ и $3$) не могут быть равными.

Таким образом, система уравнений не имеет действительных решений.