Question

Найдите коэффициент при x3 в биномиальном разложении (3-2x)4

Answer 1

Объяснение:

$(3-2x)^4=(2x-3)^4\\C_4^3(2x)^3(-3)^{4-3}=\frac{4!}{(4-3)!*3!}*8x^3(-3)^1=\frac{3!*4}{1!*3!}* 8x^3(-3)=4*8x^3*(-3)=-96x^3$

Ответ: -96.

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении выражения (3 - 2x)^4 мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

$(a - b)^n = C(n, 0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n, 1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n, 2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n, n) \cdot a^0 \cdot b^n$,

где $C(n, k)$ обозначает биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $a = 3$, $b = -2x$, $n = 4$, и мы ищем коэффициент при $x^3$, то есть при $k = 1$. Подставляем значения в формулу:

\begin{align*} & C(4, 1) \cdot 3^{4-1} \cdot (-2x)^1 \\ = & 4 \cdot 3^3 \cdot (-2x) \\ = & 4 \cdot 27 \cdot (-2x) \\ = & -216x. \end{align*}

Таким образом, коэффициент при $x^3$ в биномиальном разложении $(3 - 2x)^4$ равен -216.