Question

Дана функция у=√х: а) График которой проходит через точку с координатами А(а;2√5). Найдите значение а. b) Если хϵ[0;4], то какие значения будет принимать данная функция?с) yϵ[13;31]. Найдите значение аргумента.d) Найдите при каких х выполняется неравенство у≤3.даю 81 б ​

Answer 1

Ответ:

Дана функция $\displaystyle \tt y=\sqrt{x}$, определённая  и монотонно возрастающая на промежутке [0; +∞).

а) График которой проходит через точку с координатами А(а; 2√5). Найдите значение а.

Так как график функции проходит через точку А, то подставим в уравнение функции известные значения координат точки А:

$\displaystyle \tt 2 \cdot \sqrt{5}=\sqrt{a} \Leftrightarrow (\sqrt{a})^2=(\sqrt{4 \cdot 5})^2 \Leftrightarrow a = 4 \cdot 5 =20.$

Ответ: а = 20.

b) Если х∈[0; 4], то какие значения будет принимать данная функция?

Находим значения функции на границах отрезка:

$\displaystyle \tt y(0)=\sqrt{0}=0$

$\displaystyle \tt y(4)=\sqrt{4}=2.$

Так как функция монотонно возрастает на отрезке [0; 4], то меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть при х∈[0; 4] имеем: y∈[0; 2].  

с) y∈ [13; 31]. Найдите значение аргумента.

Находим значения аргумента функции на границах отрезка:

$\displaystyle \tt 13=\sqrt{x} \Rightarrow (\sqrt{x})^2=13^2 \Rightarrow x=169.$

$\displaystyle \tt 31=\sqrt{x} \Rightarrow (\sqrt{x})^2=31^2 \Rightarrow x=961.$

Так как функция монотонно возрастает на отрезке [169; 961], то меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть при y∈[13; 31] имеем: y∈[169; 961].

d) Найдите при каких х выполняется неравенство у≤3.​

Решение неравенства.

$\displaystyle \tt y \leq 3 \Leftrightarrow\sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow (\sqrt{x})^2 \leq 3^2 \Rightarrow x \leq 9.$

Так как функция определена на промежутке [0; +∞), то неравенство у≤3 выполняется при х∈[0, 9].

Answer 2

Дана функция: $y = \sqrt{x}$.

a) Точка А(а; 2√5) лежит на графике функции. Подставив координаты этой точки в уравнение функции, получаем:

$2\sqrt{5} = \sqrt{a}$

Чтобы избавиться от корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$4 \cdot 5 = a$

$a = 20$

Таким образом, $a = 20$.

b) Если $x \in [0; 4]$, то $y$ будет принимать значения в пределах:

$y_{\text{мин}} = \sqrt{0} = 0$ $y_{\text{макс}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, функция $y = \sqrt{x}$ примет значения от 0 до 2 включительно при $x \in [0; 4]$.

c) Для данного вопроса нам нужно решить уравнение $y = \sqrt{a}$, где $y \in [13; 31]$. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$a = y^2$

$a = 13^2 = 169$

и

$a = 31^2 = 961$

Таким образом, $a$ может быть либо 169, либо 961.

d) Неравенство $y \leq 3$ означает, что значение функции $y$ не превышает 3. Подставим это значение в уравнение функции:

$3 = \sqrt{x}$

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$9 = x$

Таким образом, неравенство $y \leq 3$ выполняется при $x \leq 9$.