Question

11.1. Найдите разложение следующих полиномов: 1) (x + a)^5; 3)(3х-а )^5 (С подробным решением пожалуйста)

Answer 1

Ответы на 1,2 (100%) правильные

Answer 2

Разложение полиномов вида $(x + a)^n$ можно найти с помощью биномиальной теоремы, которая гласит:

$$(x + a)^n = \binom{n}{0} x^n a^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} a^1 + \binom{n}{2} x^{n-2} a^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} x^1 a^{n-1} + \binom{n}{n} x^0 a^n,$$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.

Поэтому для полинома $(x + a)^5$ разложение будет выглядеть следующим образом:

$$(x + a)^5 = \binom{5}{0} x^5 a^0 + \binom{5}{1} x^4 a^1 + \binom{5}{2} x^3 a^2 + \binom{5}{3} x^2 a^3 + \binom{5}{4} x^1 a^4 + \binom{5}{5} x^0 a^5.$$

Теперь посчитаем каждый из биномиальных коэффициентов:

$$\begin{align*} \binom{5}{0} &= 1, \\ \binom{5}{1} &= 5, \\ \binom{5}{2} &= 10, \\ \binom{5}{3} &= 10, \\ \binom{5}{4} &= 5, \\ \binom{5}{5} &= 1. \end{align*}$$

Подставляем значения биномиальных коэффициентов и упрощаем каждый член разложения:

$$\begin{align*} (x + a)^5 &= 1 \cdot x^5 \cdot a^0 + 5 \cdot x^4 \cdot a^1 + 10 \cdot x^3 \cdot a^2 + 10 \cdot x^2 \cdot a^3 + 5 \cdot x^1 \cdot a^4 + 1 \cdot x^0 \cdot a^5 \\ &= x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5. \end{align*}$$

Таким образом, разложение полинома $(x + a)^5$ равно $x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5$