Question

В подразделении 20 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера? ​

Answer 1

Ответ:

5700 способом

Объяснение:

Одного офицера можно выбрать $\displaystyle C_5^1$ способами, а 3 солдат $\displaystyle C_{20}^3$ способами. Всего по правилу произведения получаем  

$\displaystyle C_5^1 \cdot C_{20}^3$

способов выбора.

Так как число сочетаний из n по k вычисляется по формуле

$\displaystyle \tt C_n^k = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} ,$

то

$\displaystyle \tt C_5^1 \cdot C_{20}^3=\dfrac{5!}{1! \cdot (5-1)!} \cdot \dfrac{20!}{3! \cdot (20-3)!} =\dfrac{4! \cdot 5}{4!} \cdot \dfrac{17! \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17!} = \\\\= 5 \cdot \dfrac{18 \cdot 19 \cdot 20}{6} = 5 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 20 = 57 \cdot 100 = 5700.$

Answer 2

Для определения количества способов выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера, нужно применить комбинаторику. Этот вопрос связан с комбинацией, так как порядок выбора солдат и офицера не имеет значения.

Используем формулу для сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где: n - общее количество элементов (в данном случае, солдат и офицеров), k - количество элементов, которые мы хотим выбрать (в данном случае, 3 солдата и 1 офицер).

В данной задаче n = 20 + 5 = 25 (общее количество солдат и офицеров), k = 3 (количество солдат в карауле) и k = 1 (количество офицеров в карауле).

Таким образом, количество способов выделить караул будет:

C(25, 3) * C(5, 1) = 25! / (3! * (25 - 3)!) * 5! / (1! * (5 - 1)!)

Вычислив это выражение, получим количество способов выделить караул из трех солдат и одного офицера.