Question

Доведіть,що за будь якого натурального числа n значення виразу N*(n+5)-(n-3)(n+2)кратне 6

Answer 1

Ответ:

доказано

Объяснение:

n(n+5)-(n-3)(n+2)=

=n*n +5*n -n*n -(-3)*n -n*2 -(-3)*2=

=n² +5n - n² +3n - 2n + 6=

=(n²-n²) + (5n+3n-2n) + 6 =

= 0 + 6 n + 6=

=6*(n+1)

6 (n+1) / 6 = n+1 (остаток 0 ) =⟩

=⟩ 6(n+1) = n(n+5)-(n-3)(n+2) кратно 6 при любом значении n (что и требовалось доказать)

Доказано

Answer 2

Для того чтобы довести, що вираз $N \cdot (n+5) - (n-3) \cdot (n+2)$ є кратним 6 для будь-якого натурального числа $n$, давайте спростимо вираз та розглянемо його почергово:

$N \cdot (n+5) - (n-3) \cdot (n+2)$

Розгорнемо добуток $N \cdot (n+5)$:

$N \cdot n + N \cdot 5 - (n^2 + 2n - 3n - 6)$

Подальше спрощення:

$N \cdot n + 5N - (n^2 - n - 6)$

Можемо подивитися на різницю $n^2 - n - 6$, яка є добутком $(n-3)$ та $(n+2)$:

$(n-3) \cdot (n+2)$

Отже, наш вираз можна переписати так:

$N \cdot n + 5N - (n-3) \cdot (n+2) = N \cdot n + 5N - (n^2 - n - 6) = N \cdot n + 5N - (n^2 + 2n - 3n - 6) = N \cdot n + 5N - n^2 - 2n + 3n + 6$

Зараз звернемо увагу на окремі доданки:

$N \cdot n + 5N - n^2 - 2n + 3n + 6 = N \cdot n + 5N + 6 - n^2 + n \cdot (3 - 2)$

$N \cdot n + 5N + 6 - n^2 + n \cdot 1$

Далі, ми можемо виділити спільний множник $N$ та переписати $n^2$ як $n \cdot n$:

$N \cdot n + 5N + 6 - n^2 + n \cdot 1 = N \cdot n + n \cdot 5 + 6 - n \cdot n + n \cdot 1$

$N \cdot n + n \cdot 5 + 6 - n^2 + n$

$n \cdot (N + 5 + 1) + (6 - n^2)$

Таким чином, ми отримали вираз, який містить суму $n \cdot (N + 6)$ та різницю $6 - n^2$.

Зауважимо, що $n \cdot (N + 6)$ є добутком двох цілих чисел $n$ і $N + 6$, тобто це ціле число.

Також, $6 - n^2$ можна сприймати як різницю двох квадратів: $6 - n^2 = 2^2 - n^2$.

Використовуючи формулу різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, ми можемо записати:

$2^2 - n^2 = (2 + n)(2 - n)$

Отже, ми можемо виразити $6 - n^2$