Question

Вероятность своевременной реализации со склада одной пары обуви равняется 0,8. Найти вероятность того, что своевременно будет реализовано не менее 75 пар, если на склад завезено 100 пар обуви. Найти наиболее вероятное количество своевременно реализованных пар обуви.

Answer 1

$p=0.8$ - вероятность реализации одной пары обуви

$q=1-p=1-0.8=0.2$ - вероятность нереализации одной пары обуви

$n=100$ - общее число пар обуви

Вероятность того, что из $n$ повторений некоторое событие наступит от  $k_1$ до $k_2$ раз определяется по формуле:

$P(A)=\Phi\left(\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq} } \right)-\Phi\left(\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq} } \right)$

Для нашей задачи имеем:

$k_1=75;\ k_2=100$

Получим:

$P(A)=\Phi\left(\dfrac{100-100\cdot0.8}{\sqrt{100\cdot0.8\cdot0.2} } \right)-\Phi\left(\dfrac{75-100\cdot0.8}{\sqrt{100\cdot0.8\cdot0.2} } \right)=$

$=\Phi\left(5 } \right)-\Phi\left(-1.25 } \right)=\Phi\left(5 } \right)+\Phi\left(1.25 } \right)=0.5+0.3944=\boxed{0.8944}$

Наиболее вероятное количество своевременно реализованных пар обуви:

$N=np=100\cdot0.8=\boxed{80}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода для каждой пары обуви: либо она будет реализована своевременно, либо нет.

Параметры биномиального распределения:

• n = 100 (количество пар обуви)
• p = 0,8 (вероятность своевременной реализации одной пары обуви)

Мы хотим найти вероятность того, что будет реализовано не менее 75 пар обуви. Это можно выразить как сумму вероятностей реализации 75, 76, ..., 100 пар обуви.

P(X ≥ 75) = P(X = 75) + P(X = 76) + ... + P(X = 100)

Где X - случайная величина, представляющая количество своевременно реализованных пар обуви.

Для одного конкретного значения k вероятность P(X = k) можно вычислить следующим образом: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Где C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k), вычисляемый как n! / (k! * (n - k)!).

Теперь давайте приступим к вычислениям:

1. Найдем вероятность P(X ≥ 75):

P(X ≥ 75) = P(X = 75) + P(X = 76) + ... + P(X = 100)

2. Найдем наиболее вероятное количество своевременно реализованных пар обуви. Для биномиального распределения это значение соответствует математическому ожиданию, то есть μ = n * p.

Посчитаем:

1. Вычислим P(X ≥ 75):

P(X ≥ 75) = P(X = 75) + P(X = 76) + ... + P(X = 100)

2. Найдем наиболее вероятное количество пар обуви:

μ = n * p

Подставив n = 100 и p = 0,8, мы можем рассчитать значения.