Question

2cos(5x-π/4)=1 Решите уравнение

Answer 1

Ответ:

$\cos((5x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{1}{2} \\ 5x - \frac{\pi}{4} = + - \frac{\pi}{3} + 2\pi \times k \\ x = + - \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi \times k}{5}$

Answer 2

Для решения данного уравнения относительно $x$ нужно следующим образом:

$2\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = 1.$

Давайте сначала избавимся от коэффициента 2, разделив обе стороны на 2:

$\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}.$

Теперь нам нужно найти все углы $5x - \frac{\pi}{4}$, для которых $\cos$ равен $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos$ равен $\frac{1}{2}$ при двух различных углах: $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$, в пределах одного периода.

Итак, мы можем записать:

$5x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k$ или $5x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot m,$

где $k$ и $m$ - целые числа, представляющие количество периодов сдвига косинуса.

Теперь решим каждое уравнение относительно $x$:

1. Для первого уравнения: $5x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k.$ $5x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot k.$ $x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi \cdot k}{5}.$

2. Для второго уравнения: $5x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot m.$ $5x = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot m.$ $x = \frac{17\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi \cdot m}{5}.$

Таким образом, общее решение уравнения $2\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = 1$ выглядит следующим образом:

$x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi \cdot k}{5} \quad \text{или} \quad x = \frac{17\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi \cdot m}{5},$

где $k$ и $m$ - любые целые числа.