Question

Y'-y/x=-lnx/x, y(1)=1 коши методом бернулли

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Это Линейное ДУ

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения методом Бернулли, сначала нужно привести его к стандартному виду, который имеет вид:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n,$$

где $n$ - константа, $P(x)$ и $Q(x)$ - функции от $x$.

Ваше уравнение:

$$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{\ln(x)}{x}.$$

Приведем его к стандартному виду, поделив обе стороны на $x$:

$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = -\frac{\ln(x)}{x^2}.$$

Теперь сделаем замену переменной $v = y/x$ (подобно методу Бернулли). Тогда:

$$\frac{dy}{dx} = v'x + v.$$

Подставляя это обратно в уравнение, получим:

$$v'x + v - \frac{v}{x} = -\frac{\ln(x)}{x^2}.$$

Упростим:

$$v'x = -\frac{\ln(x)}{x^2}.$$

Разделим обе стороны на $x$:

$$v' = -\frac{\ln(x)}{x^3}.$$

Теперь мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение относительно $v$.

Решение данного уравнения можно получить путем интегрирования:

$$\int \frac{dv}{dx} dx = -\int \frac{\ln(x)}{x^3} dx.$$

Интегрируя обе стороны, получим:

$$v = \frac{1}{2x^2} + \frac{\ln(x)}{2x^2} + C,$$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к исходной переменной $y$:

$$\frac{y}{x} = \frac{1}{2x^2} + \frac{\ln(x)}{2x^2} + C.$$

Учитывая начальное условие $y(1) = 1$, подставим $x = 1$ и $y = 1$:

$$\frac{1}{1} = \frac{1}{2 \cdot 1^2} + \frac{\ln(1)}{2 \cdot 1^2} + C,$$

$$1 = \frac{1}{2} + 0 + C,$$

$$C = \frac{1}{2}.$$

Итак, решение уравнения:

$$\frac{y}{x} = \frac{1}{2x^2} + \frac{\ln(x)}{2x^2} + \frac{1}{2}.$$

Умножим обе стороны на $x$:

$$y = \frac{x}{2} + \frac{x\ln(x)}{2} + \frac{x}{2}.$$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем окончательное решение:

$$y = x\ln(x) + x.$$

И это и есть решение данного дифференциального уравнения с начальным условием $y(1) = 1$ методом Бернулли.