Question

Докажите тождество: 1/x(x+4)+1/(x+4)(x+8)+1/(x+8)(x+12)+1/(x+12)(x+16)=4/x(x+16)

Answer 1

Ответ:

Решение на картинке

Answer 2

Давайте докажем данное тождество путём приведения всех дробей к общему знаменателю и последующего сокращения.

Исходное тождество: 1/x(x+4) + 1/(x+4)(x+8) + 1/(x+8)(x+12) + 1/(x+12)(x+16) = 4/x(x+16)

Сначала найдём общий знаменатель для всех дробей: Общий знаменатель = x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)

Теперь приведём каждую дробь к общему знаменателю: 1/x(x+4) = (x+8)(x+12)(x+16) / общий знаменатель 1/(x+4)(x+8) = x(x+12)(x+16) / общий знаменатель 1/(x+8)(x+12) = x(x+4)(x+16) / общий знаменатель 1/(x+12)(x+16) = x(x+4)(x+8) / общий знаменатель

Теперь сложим все приведённые дроби: [(x+8)(x+12)(x+16) / общий знаменатель] + [x(x+12)(x+16) / общий знаменатель] + [x(x+4)(x+16) / общий знаменатель] + [x(x+4)(x+8) / общий знаменатель]

Совершим суммирование: [(x+8)(x+12)(x+16) + x(x+12)(x+16) + x(x+4)(x+16) + x(x+4)(x+8)] / общий знаменатель

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: [x^3 + 36x^2 + 384x + 1024 + x^3 + 28x^2 + 192x + 384 + x^3 + 20x^2 + 64x + 64 + x^3 + 12x^2 + 32x] / общий знаменатель

Теперь сложим числители: 4x^3 + 96x^2 + 672x + 1472

Итак, сумма всех дробей: (4x^3 + 96x^2 + 672x + 1472) / общий знаменатель

Исходная правая часть тождества: 4/x(x+16)

Приведём правую часть к общему знаменателю: 4(x+4)(x+8) / общий знаменатель

Раскроем скобки: 4x^2 + 48x + 128

Теперь сравним числители левой и правой частей: 4x^3 + 96x^2 + 672x + 1472 = 4x^2 + 48x + 128

Таким образом, исходное тождество подтверждается: 1/x(x+4) + 1/(x+4)(x+8) + 1/(x+8)(x+12) + 1/(x+12)(x+16) = 4/x(x+16)