Question

Тема: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. b1=2 b2= Корень из трёх Q-неизвестно Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии. S-?

Answer 1

Объяснение:

$b_1=2\ \ \ \ \ b_2=\sqrt{3} \ \ \ \ S=?\\S=\frac{b_1}{1-q} \\q=\frac{b_2}{b_1} =\frac{\sqrt{3} }{2}.\ \ \ \ \Rightarrow\\S=\frac{2}{1-\frac{\sqrt{3} }{2} }=\frac{2}{\frac{2-\sqrt{3} }{2} } =\frac{2*2}{2-\sqrt{3} } =\frac{4*(2+\sqrt{3}) }{(2-\sqrt{3} )*(2+\sqrt{3}) } =\frac{8+4\sqrt{3} }{2^2-(\sqrt{3})^2 } =\frac{8+4\sqrt{3} }{4-3}=8+4\sqrt{3}.$

Ответ: S=8+4√3.

Answer 2

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ГП) может быть найдена по следующей формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q},$

где $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - коэффициент убывания (отношение между соседними членами прогрессии).

В данном случае, $b_1 = 2$ и $b_2 = \sqrt{3}$, и нам нужно найти значение $q$.

Соотношение между соседними членами ГП: $b_2 = b_1 \cdot q,$ $\sqrt{3} = 2 \cdot q.$

Решая это уравнение относительно $q$, получаем: $q = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Теперь мы можем использовать формулу для суммы ГП: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}.$

Чтобы избавиться от знаменателя с радикалом, мы умножим обе части дроби на сопряженное значение: $S = \frac{2}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}.$

Упростив это выражение, получим: $S = \frac{2(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\frac{1}{4}} = 8 + 4\sqrt{3}.$

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $8 + 4\sqrt{3}$.