Question

Найдите все значение а, при каждом из которых уравнение ax+√–7–8x–x2 = ax+3 имеет единственный корень.

Answer 1

Объяснение:

Во-первых, область определения

-x^2 - 8x - 7 >= 0

x^2 + 8x + 7 <= 0

(x + 1)(x + 7) <= 0

x = [-7; -1]

Во-вторых, выделяем корень

√(-x^2 - 8x - 7) = -ax + 2a + 3

Возводим в квадрат

-x^2-8x-7 = (-ax+2a+3)^2 = a^2*x^2-4a^2*x+4a^2-6ax+12a+9

x^2*(a^2 + 1) + x*(8 - 4a^2 - 6a) + (7 + 4a^2 + 12a + 9) = 0

x^2*(a^2 + 1) + 2x*(-2a^2 - 3a + 4) + (4a^2 + 12a + 16) = 0

Получили квадратное уравнение.

Если оно имеет только 1 корень, то D = 0

D/4 = (-2a^2 - 3a + 4)^2 - (a^2 + 1)(4a^2 + 12a + 16) =

= (4a^4 + 12a^3 + 9a^2 - 16a^2 - 24a + 16) -

- (4a^4 + 4a^2 + 12a^3 + 12a + 16a^2 + 16) =

= 9a^2 - 16a^2 - 24a - 4a^2 - 12a - 16a^2 = -27a^2 - 36a = -9a(3a + 4) = 0

a1 = 0; a2 = -4/3

Подставляем эти а и проверяем х.

1) a = 0

0 + √(-x^2 - 8x - 7) = 3

-x^2 - 8x - 7 = 9

-x^2 - 8x - 16 = -(x + 4)^2 = 0

x1 = x2 = -4

2) a = -4/3

-4x/3 + √(-x^2 - 8x - 7) = -8/3 + 3 = 1/3

√(-x^2 - 8x - 7) = 4x/3 + 1/3 = (4x + 1)/3

9(-x^2 - 8x - 7) = (4x + 1)^2

-9x^2 - 72x - 63 = 16x^2 + 8x + 1

25x^2 + 80x + 64 = (5x + 8)^2 = 0

x1 = x2 = -8/5

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы выражение под знаком корня было равно нулю (чтобы корень был вещественным) и чтобы коэффициент перед квадратным членом был отличен от нуля (чтобы уравнение было квадратным).

Давайте разберемся с уравнением поэтапно:

Уравнение: ax + √(-7) - 8x - x^2 = ax + 3

Переносим все члены на одну сторону:

√(-7) - 8x - x^2 = 3

Так как у нас есть корень, то √(-7) = i√7, где i - мнимая единица.

Теперь уравнение выглядит так:

i√7 - 8x - x^2 = 3

Подставляем ax вместо x:

i√7 - 8ax - a^2 = 3

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

D = (-8a)^2 - 4*(-a^2 - i√7 - 3) = 0

Раскрываем скобки:

64a^2 + 4a^2 + 4i√7 + 12 = 0

Суммируем коэффициенты при a^2 и при константе:

68a^2 + 4i√7 + 12 = 0

Так как a является вещественным числом (коэффициент перед a^2 должен быть вещественным, чтобы уравнение было квадратным), то нам интересует только мнимая часть:

4i√7 = 0

Это уравнение не имеет решений в вещественных числах. Таким образом, уравнение ax + √(-7) - 8x - x^2 = ax + 3 не имеет ни одного значения a, при котором оно имело бы единственный корень.