Question

Докажите, что для любого n∈N справедливо равенство 1*2+2*3*n*2+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

Answer 1

По индукции.

Пусть сумма S(n).

для n=1 утверждение , очевидно, верно  S(1)=2.  Пусть оно верно для  n

Остается доказать, что  (n+1)(n+2)(n+3)/3 -n(n+1)(n+2)/3=(n+1)*(n+2)

Действительно :

(n+1)(n+2)(n+3)/3 -n(n+1)(n+2)/3=((n+1)(n+2)/3)*(n+3-n)=(n+1)(n+2) ,

что и требуется

Answer 2

Докажем данное равенство по математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)

Для n = 1 левая часть равенства:

1 * 2 = 2

А правая часть:

1 * (1 + 1) * (1 + 2) / 3 = 1 * 2 * 3 / 3 = 2

Оба выражения совпадают, что подтверждает базовый случай.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что равенство верно для некоторого произвольного, но фиксированного n = k, то есть:

1 * 2 + 2 * 3 + ... + k * (k + 1) = k * (k + 1) * (k + 2) / 3

Шаг 3: Индукционный переход

Мы хотим доказать, что равенство верно и для n = k + 1:

1 * 2 + 2 * 3 + ... + k * (k + 1) + (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) / 3

Добавим к обеим сторонам выражения (k + 1) * (k + 2):

1 * 2 + 2 * 3 + ... + k * (k + 1) + (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) = k * (k + 1) * (k + 2) / 3 + (k + 1) * (k + 2)

По предположению индукции, первая часть левой стороны равна k * (k + 1) * (k + 2) / 3. Теперь мы можем преобразовать правую часть:

k * (k + 1) * (k + 2) / 3 + (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (k / 3 + 1) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) / 3

Мы получили то, что нам нужно доказать для n = k + 1.

Таким образом, мы показали, что если равенство верно для некоторого n = k, то оно также верно и для n = k + 1. По принципу математической индукции, равенство справедливо для всех натуральных чисел n.

Итак, равенство 1 * 2 + 2 * 3 + ... + n * (n + 1) = n * (n + 1) * (n + 2) / 3 доказано.