Question

Выразите log3(12 ) через a, b, и c, если log3(7)=a, log7(5)=b, log5(4)=c

Answer 1

$log_37=a$

$log_75=b$

$log_54=c$

$log_312-?$

Решение.

1 способ

1)  Каждый из данных логарифмов выразим через десятичные логарифмы

$log_37=\frac{lg7}{lg3}=a$

$log_75=\frac{lg5}{lg7}=b$

$log_54=\frac{lg4}{lg5}=c$

2)  Найдем произведение.

      $abc=\frac{lg7}{lg3}*\frac{lg5}{lg7}* \frac{lg4}{lg5}=\frac{lg4}{lg3}$

      $abc= \frac{lg4}{lg3} =log_34$

      $log_34=abc$

3)   Находим   $log_3 12$

   $log_312=log_3(3*4)=log_33+log_34=1+abc$

   $log_312=1+abc$

Ответ:    $log_312=1+abc$

2 способ

1)  $b=log_75=\frac{log_35}{log_37}$

   $b=\frac{log_35}{a}$

   $log_35=ab$

2)  $c=log_54=\frac{log_35}{log_34}$

     $c=\frac{ab}{log_34}$

    $log_34=abc$

3)   $log_312=log_3(3*4)=log_33+log_34=1+abc$

     $log_312=1+abc$

Ответ:    $log_312=1+abc$

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами логарифмов и формулами изменения основания логарифма:

1. log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), где a, b, c > 0 и a ≠ 1, c ≠ 1.

Исходя из данных:

log3(7) = a log7(5) = b log5(4) = c

Мы хотим найти log3(12). Давайте поочередно переведем числа 12, 7, 5 и 4 к одному основанию, например, к основанию 5, так как у нас уже есть логарифмы по основанию 5:

log3(12) = log5(12) / log5(3)

Далее, переведем числа 12 и 3 к основанию 7, используя логарифмы по основанию 7:

log5(12) = log7(12) / log7(5) log5(3) = log7(3) / log7(5)

Теперь, зная, что log7(5) = b, можем подставить это значение в выражение:

log5(12) = log7(12) / b log5(3) = log7(3) / b

Далее, переведем числа 12 и 3 к основанию 4, используя логарифмы по основанию 4:

log7(12) = log4(12) / log4(7) log7(3) = log4(3) / log4(7)

Теперь подставим эти значения в предыдущее выражение:

log5(12) = (log4(12) / log4(7)) / b log5(3) = (log4(3) / log4(7)) / b

Теперь у нас есть выражения для log5(12) и log5(3), которые можно подставить в исходное выражение для log3(12):

log3(12) = ((log4(12) / log4(7)) / b) / ((log4(3) / log4(7)) / b)

Мы видим, что b сокращается в числителе и знаменателе, поэтому остается:

log3(12) = log4(12) / log4(3)

Таким образом, log3(12) выражается через a, b и c как log4(12) / log4(3).