Question

Чому дорівнює кут між векторами а(2;5), b(3;-7)

Answer 1

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by = 2 · 3 + 5 · (-7) = 6 - 35 = -29

Найдем длины векторов:

|a| = √(ax² + ay²) = √(2² + 5²) = √(4 + 25) = √29

|b| = √(bx² + by²) = √(3² + (-7)²) = √(9 + 49) = √58

Найдем угол между векторами:

cos α =    a · b    

                |a||b|

cos α =  -29/  (√29 · √58 )  = - √2/ 2 ≈ -0.707107.

Угол равен 135 градусов.

Answer 2

Кут між двома векторами можна обчислити за допомогою скалярного добутку векторів і формули:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

де:

• θ - кут між векторами a і b.
• a · b - скалярний добуток векторів a і b.
• |a| - довжина (модуль) вектора a.
• |b| - довжина (модуль) вектора b.

Спочатку знайдемо скалярний добуток a · b:

a · b = 2 * 3 + 5 * (-7) = 6 - 35 = -29.

Тепер знайдемо довжини векторів a і b:

|a| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29, |b| = √(3^2 + (-7)^2) = √(9 + 49) = √58.

Тепер підставимо ці значення у формулу для cos(θ):

cos(θ) = (-29) / (√29 * √58) = (-29) / (√(29 * 58)) = (-29) / (√(1682)).

Отже, cos(θ) = (-29) / (√(1682)).

Щоб знайти кут θ, можна використовувати обернений косинус (арккосинус). Але важливо знати, в якій квадранті знаходиться цей кут, тому що арккосинус повертає значення лише з діапазону від 0 до π (або 0 до 180 градусів). Тут може виникнути певна неоднозначність, оскільки ми можемо мати декілька можливих варіантів для кута залежно від квадранту, але можемо знайти абсолютне значення косинусу, і тоді воно буде:

|cos(θ)| = |-29 / √(1682)| ≈ 0.598.

Зараз знайдемо арккосинус цього значення, і ми отримаємо абсолютне значення кута між векторами:

θ ≈ arccos(0.598).

Тепер можна виразити кут θ в градусах або радіанах, використовуючи необхідні конверсії.