Question

В арифметической прогрессии (an) a1 = 112, d = –4. Укажи наименьшее число первых членов этой прогрессии, сумма которых будет отрицательной. 1) 56 2) 59 3) 57 4) 58

Answer 1

$\{a_n\};\ \ \ a_1=112;\ \ \ d=-4\\\\S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}2\cdot n\\\\S_n$

n - натуральное число, n>0.

$(n-57)\cdot n > 0;\ \ \ \ \big|:n>0\\\\n-57>0\\n>57$

Наименьшее число членов этой прогрессии 58.

Ответ: 4) 58.

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии можно воспользоваться формулой:

Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d]

В данном случае:

a1 = 112 d = -4

И мы хотим найти наименьшее n, для которого Sn < 0.

Подставим значения в формулу:

Sn = (n/2) * [2 * 112 + (n-1) * (-4)]

Sn = (n/2) * [224 - 4(n-1)]

Sn = (n/2) * [224 - 4n + 4]

Sn = (n/2) * [228 - 4n]

Sn = (n/2) * [228] - (n/2) * [4n]

Sn = 114n - 2n^2

Теперь нам нужно найти наименьшее n такое, что Sn < 0:

114n - 2n^2 < 0

2n^2 - 114n < 0

n(2n - 114) < 0

Рассмотрим два случая:

1. n < 0: В этом случае неравенство выполняется только для n = 0.

2. 2n - 114 < 0: Решая это неравенство, получаем:

2n < 114

n < 57

Теперь заметим, что n должно быть целым числом, и наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, - это n = 56.

Итак, наименьшее число первых членов прогрессии, сумма которых будет отрицательной, - это 56.

Ответ: 1) 56