Question

Докажите, что значение выражения (18n + 39) – (4n + 11) кратно 7 при любом натуральном значении n.

Answer 1

Ответ:

(18n+39)-(4n+11)=14n-28=7(2n-4), что делится на 7 при любом n

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения (18n + 39) - (4n + 11) кратно 7 при любом натуральном значении n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1) Для n = 1, выражение примет следующий вид: (18 * 1 + 39) - (4 * 1 + 11) = (18 + 39) - (4 + 11) = 57 - 15 = 42.

Значение 42 явно кратно 7, так как 42 делится на 7 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение (18n + 39) - (4n + 11) кратно 7 для некоторого натурального числа k, то есть: (18k + 39) - (4k + 11) кратно 7.

Шаг 3: Индукционный переход Теперь докажем, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно для k + 1.

Рассмотрим выражение для k + 1: (18(k + 1) + 39) - (4(k + 1) + 11).

Раскроем скобки: = (18k + 18 + 39) - (4k + 4 + 11).

Теперь выразим это выражение через выражение для k: = ((18k + 39) - (4k + 11)) + (18 - 4).

Заметим, что первое слагаемое в скобках - это значение, которое мы знаем кратно 7, так как это предположение индукции. Поэтому оно кратно 7. А второе слагаемое, 18 - 4, также кратно 7, так как 18 - 4 = 14 делится на 7 без остатка.

Таким образом, их сумма (первое слагаемое + второе слагаемое) также будет кратной 7.

Из этого следует, что если выражение (18n + 39) - (4n + 11) кратно 7 для некоторого натурального числа k, то оно также кратно 7 для k + 1.

Исходя из базового случая и индукционного перехода, мы можем сделать вывод, что выражение (18n + 39) - (4n + 11) кратно 7 при любом натуральном значении n.